OI集训 Day29

Content：杂题
Date：2025.8.14

CodeForces-1870E Another MEX Problem

题目大意

给你一个数组 \(a\)，你可以选择任意互不相交的子数组，先计算每一个子数组的 MEX 值，然后将这些 MEX 值的异或和作为这个方案的价值，求你可以获得的最大价值。

解题思路

首先我们肯定可以暴力 DP，定义 \(dp_{i,j}\) 表示前 \(i\) 个数能否凑出价值为 \(j\) 的方案，转移显然是 \(O(n^3)\) 的。

考虑如何优化。由于 MEX 的性质，可以发现从 \(i\) 往后的一段区间内 MEX 值是单调不降的，所以其中一定有大量相等的段。这些段本质是一样的，所以我们只需要考虑那些前后不同的位置即可，这些符合条件的转移区间至多有 \(2n\) 个，所以我们就得到了复杂度为 \(O(n^2)\) 得做法。

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Luogu-P12426 BOI acroym

题目大意

已知一个由 B, O, I 组成得字符串每个区间得众数得出现次数，且 B 为全局众数，求原串种 B 出现的位置。

解题思路

首先我们可以找到第一个和最后一个出现的 B 的位置。

• 左侧最后一个满足 \(m_{1,n} = m_{l,n}\) 的位置 \(l\)。
• 右侧最后一个满足 \(m_{1,n} = m_{1,r}\) 的位置 \(r\)。

然后我们考虑根据已知信息推出区间 \((l,r)\) 内的 B 的位置。主要有以下三种情况 (\(cur\) 表示当前已知的 B 的数量)：

1. 若 \(m_{l,i - 1} = cur\) 且 \(m_{l + 1, i - 1} = cur - 1\) 且 \(m_{l,i} = m_{l,i - 1} + 1\)，则位置 \(i\) 为 B。
2. 若 \(m_{i,r} = m_{l,r} - cur\) 且 \(m_{i, r - 1} = m_{l,r} - cur - 1\) 且 \(m_{i,r} = m_{i + 1,r} + 1\)，则位置 \(i\) 为 B。
3. 若 \(m_{l + 1,i} = m_{l,i-1}\) 且 \(m_{i,r} = m_{i + 1,r - 1}\)，则位置 \(i\) 为 B。

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Luogu-P8386 [PA 2021] Od deski do deski

题目描述

给定 \(n\)，\(m\)，求满足以下限制的长度为 \(n\) 的序列数目：

1. 每个元素在 \([1,m]\) 之间；
2. 一次操作定义为删除一个长度至少为 \(2\) 且区间两端相等的区间，该序列需要在若干次操作内被删空。

答案对 \(10^9+7\) 取模。

解题思路

可以发现最后的答案一定是由 \(a \dots\dots\dots a\) 这样的字符串拼接成的。所以我们定义 \(f_{i,j,0 / 1}\) 表示前 \(i\) 个位置包含 \(j\) 个不同的数且符合/不符合条件的方案数，转移显然。

\[\begin{align} f_{i,j,1} \times j &\to f_{i+1,j,1} \\ f_{i,j,1} \times (m - j) &\to f_{i+1,j + 1,0} \\ f_{i,j,0} \times j &\to f_{i+1,j,1} \\ f_{i,j,0} \times (m - j) &\to f_{i+1,j,0} \end{align} \]

答案即为 \(\displaystyle \sum_{i=0}^{n} f_{n,i,1}\)，注意取模。

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