OI集训 Day25

Content：图论基础
Date：2025.8.10

课堂内容

图论基础知识

• 图的定义：由点集 \(V\) 和边集 \(E\) 组成，记作图 \(G (V, E)\)。
• 阶：图的点数，记作 \(|G|\)。
• 相邻：称图中的两个点 相邻，当且仅当 \((i,v) \in E\)。
• 连通：无向图中若存在 \(v_0 = u, v_k = v\) 的路径则称 \(u, v\) 连通。
• 弱连通：若有向图变为无向图后 \(u, v\) 连通，则称 \(u, v\) 弱连通。
• 连通图：无向图中任意两点连通的图称作连通图。
• 弱连通图：有向图中任意两点弱连通的图称作弱连通图。
• 简单图：不存在重边和自环的图。
• 稀疏图/稠密图：\(|E| \ll |V|^2\) 的图称作稀疏图，\(|E|\) 接近 \(|V|^2\) 的图称作稠密图。

拓扑排序

Problem

给定一个有向无环图（DAG），要求求出一个序列 \(p\)，其中 \(u\) 在排列 \(p\) 中的位置记作 \(q_u\)，则这个序列满足满足：

• \(\forall \ u \to v \in E\)，\(q_u < q_v\)。

Solution

每次从 DAG 中选择一个入度为 0 的点，将这个点加入序列 \(p\) 中，然后删掉这个点和这个点在图中的所有出边，重复这个过程。

Proof

显然对于任意的 \(u \to v \in E\)，点 \(u\) 总是在 \(v\) 之前被加入序列 \(p\)，所以最后得到的学列一定是合法的。复杂度为 \(O (n+m)\)。

Extend

可以用拓扑排序判断一个有向图是否存在环。

最短路算法

Problem 1

给定一张图和一个源点 \(s\)，求图上所有点到源点 \(s\) 的最短距离 \(D_u\)。

Solution

Bellman-Ford

松弛操作：称一次松弛操作为对于每一条边 \((u, v, w)\)，用 \(dis_u + w \to dis_u\)。
这样进行松弛操作 \(n-1\) 轮就可以得到 \(D_u\)。复杂度为 \(O (nm)\)。

Extend: Bellman-Ford 算法也可以用来判断图中是否存在负环。如果进行了 \(n-1\) 轮松弛操作后依然存在可以被更新的 \(dis_u\)，则图中一定存在负环。因为在这个操作中负环被视为无穷小而被无限更新下去。

SPFA

关于 SPFA，它死了。

松弛点 \(u\) 时若存在可以用 \((u, v, w)\) 更新的 \(dis_v\) 且 \(v\) 不在队列中，则将 \(v\) 压入队列，重复这个过程知道队列为空。复杂度 \(O(nm)\)。

Extend：和 bellman-ford 一样，如果存在点被压入队列超过 \(n-1\) 次，则图中存在负环。

Dijkstra

扩展：对于一个点 \(u\)，称扩展点 \(u\) 表示用 \(u\) 的所有出边 \((u, v, w)\) 更新 \(dis_v\)。

每次选择未被扩展的 \(dis_u\) 最小的点 \(u\) 进行扩展，可以用 优先队列 将复杂度优化到 \(O(m \log m)\)，但只能处理 非负权图。

Problem 2

对于一个给定的图，求图中任意两点的最短距离。

Solution

Johnson

从超级源点向所有点连一条 \((S, u, 0)\) 的边，跑一边 Bellman-Ford/SPFA 得到最短路 \(h_u\)。然后改造边为 \((u, v, w + h_u - h_{v})\)。然后再在新图上跑一边 Dijkstra（新图为非负权图），复杂度为 \(O (nm \log m)\)。

Floyd

初始化所有 \(dis_{u, u} = 0;\forall (u,v,w) \in E,dis_{u,v} = \min\{w\}\)，然后在这个数组上进行如下更新：

\[dis_{i,j} = \min_{k} (dis_{i,k} + dis{k,j}) \]

实际上就是一个动态规划，复杂度为 \(O (n^3)\)。

最短路树

在单源最短路中，记录每个点最后被更新的前驱 \(pre_u\)，以这个建边得到的树就是最短路树。

删边最短路

Problem

给定一个正权无向图，求删除每一条边后从 \(1\) 到 \(n\) 的最短路。

Solution

我们建立一个从 \(1\) 出发的最短路树 \(T_1\)，和一个到达 \(n\) 的最短路树 \(T_2\)。容易发现若删除的边 \((u, v)\) 不在原最短路上，则删除 \((u,v)\) 不会影响答案。

所以我们不妨设原最短路为 \(1 \leadsto i \to j \leadsto n\)，找到所有满足 \(u\) 不在 \(T_2\) 的 \(i\) 的子树内，\(v\) 不在 \(T_1\) 的 \(j\) 的子树内的所有边 \((u, v, w)\)。用 \(dis(u,LCA(T_1,u,n)) + w(u,v) + dis(v,LCA(T_2,v,1))\) 更新答案。复杂度可以用数据结构优化到 \(O(m \log m)\)。

无向图连通性

定义

• 割边：删去后使得连通分量增加的边。
• 割点：删去后使得连通分量增加的点
• 点双连通图：不存在割点的无向连通图。
• 边双连通图：不存在割边的无向连通图。
• 点双连通分量：极大点双连通子图，即 V-BCC。
• 边双连通分量：极大边双连通子图，即 E-BCC。

性质

点双连通分量

• 若两个点双连通分量有交点，则这个交点有且仅有一个，且为割点。
• 一个点是割点当且仅当它属于超过一个边双连通分量。
• 一条边仅属于一个点双连通分量。
• 由一条边直接连接的两个点 点双连通。
• 点双内任意一个点 \(u\) 均存在经过这个点的简单环。
• 点双内任意一个点对 \((u,v)\)，均存在包含这个点对的简单环。

边双连通分量

• 两个点之间任意一条 迹 上的所有割边就是这两个点的必经边。
• 若 \(x\) 和 \(y\) 边双连通，\(y\) 和 \(z\) 边双连通，则 \(x\) 和 \(z\) 边双连通（传递性）。
• \(u\) 和 \(v\) 之间边双连通当且仅当这两个点之间的必经边集合为空。
• 对于一个边双连通分量中的任意一条边 \((u,v)\)，均存在经过这条边的回路。
• 边双内任意一点均存在经过这个点的回路。
• 边双内任意一组点对 \((u,v)\) 均存在包含这个点对的回路。

求解

• 点双连通分量：Link
• 边双连通分量：Link

有向图连通性

定义

• 强连通：一个点对 \((u,v)\) 互相可达。
• 强连通图：图中任意两点互相可达的有向连通图。
• 强连通分量：极大的强连通子图，即 SCC。

性质

• 若 \(dfn_v < dfn_u\)，则 \(u\) 可达 \(v\) 当且仅当 \(v\) 可达 \(u\)。
• 若 \(u,v\) 强连通，则 \(u,v\) 在 dfs 树上路径的所有点弱连通。
• 强连通分量在 dfs 树上弱连通。

求解

• 强连通分量（Tarjan）：Link

最小生成树

定义

• 生成树：对于连通图而言，生成树是原图一个树形结构的生成子图。
• 生成森林：每一个连通分量的生成树组成的子图。

求解最小生成树

Kruskal

首先对原图的边按照边的权值从小到大排序，然后枚举每一条边，如果这条边连接的两个点现在并不连通，则将这一条边加入最小生成树。连通性可以用并查集维护，复杂度为 \(O(m \log m)\)。

实现：Link

Prim

类似 Dijkstra，每次选择一个现在在最小生成树上的点 \(u \in S\)（\(S\) 为当前已经加入最小生成树的点集），将满足 \((u,v,w) \in E,v \not\in S\) 且 \(w\) 最小的边加入最小生成树。用优先队列可以把复杂度优化到 \(O((n+m) \log n)\)。

实现：Link

例题

Luogu-P1967 [NOIP 2013 提高组] 货车运输

题目大意

给定一张由 \(n\) 个点 \(m\) 条双向边组成的无向带权图，有 \(q\) 次询问，每次询问 \(u, v\) 之间的最大瓶颈路。

思路

首先如果对于每次询问都单独跑一边 Dijkstra 的复杂度是 \(O (n m \log m)\) 的，显然不可接受。

我们发现由于题目要求的是瓶颈路，所以很多边都是用不到的。更进一步的，我们发现只有原图中 最大生成树 上的边才是有用的。所以我们可以对于原图的最大生成树重新建边，然后这个问题就转化为了树上问题。

转化为树上问题后，\(u, v\) 的路径很显然可以分为 \(u \to LCA (u, v)\) 和 \(v \to LCA (u, v)\)，所以就转化为了求树上两个点之间路径上的最小权值。可以用倍增求 \(LCA\)，复杂度为 \(O(n \log n)\)。

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