OI集训 Day15

Content：组合数学
Date：2025.7.31

课堂内容

容斥原理

其主要思想为：把禁止违反哪些规则改为钦定违反了哪几条规则，并赋予 \((-1)^k\) （即违反 \(k\) 条规则）的容斥系数。

二项式反演

\[\begin{aligned} g(n) &= \sum_{i=0}^n \binom{n}{i} f(i) \Leftrightarrow f(n) = \sum_{i=0}^n (-1)^{n-i} \binom{n}{i} g(i) \\ g(n) &= \sum_{i=n}^N \binom{i}{n} f(i) \Leftrightarrow f(n) = \sum_{i=n}^N (-1)^{i-n} \binom{i}{n} g(i) \end{aligned} \]

例题

Luogu-P1450 [HAOI2018] 硬币购物

题目大意

给定硬币面值 \(c_1, c_2, c_3, c_4\) 和硬币个数 \(d_1, d_2, d_3, d_4\)，求恰好凑齐 \(s\) 元的方案数。\(T\) 组询问。

思路

首先我们可以对硬币做完全背包，这样我们就知道了用这些硬币可以凑出那些。

然后带上限制条件，做容斥即可。

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AGC005D ~K Perm Counting

题目大意

给定 \(N,K\)，求所有满足 \(|a_i - i| \ne k\) 的长度为 \(N\) 的排列的个数。

思路

参考 Dreamunk 大佬的题解。将所有的不合法的情况之间连边，我们就得到了若干条不合法的链，对这些链进行 DP 后，就可以容斥了。

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最后的最后，还是要说一句 我恨计数