OI集训 Day13

Content：平衡树
Date：2025.7.29

具体内容

Leafy Tree 和 Un-leafy Tree

Leafy Tree：表示将所有的数据存放在叶子节点的树形数据结构，类似 线段树 和 WBLT 平衡树。
Un-leafy Tree：与 Leafy Tree 相反，将数据存放在每个树节点的数据结构。

替罪羊树

替罪羊树是最简单的平衡树，也是 Un-leafy 的，其核心思想是定义一个常数 \(\alpha\)，对于树上任意节点 \(u\)，若 \(\max(siz_{ls_{u}}, siz_{rs_{u}}) \ge \alpha \times siz_u\)，则将整棵树拍平成数组，对整棵树重构，使其保持平衡性。

替罪羊树的复杂度是 \(O(n \log n)\) （均摊）的，同时 \(\alpha\) 的取值对复杂度的影响是直接的，当 \(\alpha\) 在区间 \([0.5,1]\) 之间时，复杂度时最优的，一般取 \(\alpha = 0.7\)。

Treap

旋转 Treap

旋转 Treap 主要通过旋转来调整树的平衡。我们为每一个节点新加入一个键值 \(priority\)。Treap 除了在维护平衡树的性质外，还要维护对于 \(priority\) 的堆的性质。而这一部分的维护靠的就是旋转操作。

复杂度：\(O(n \log n)\) （期望）

无旋 Treap （FHQ-Treap）

无旋 Treap （又称 FHQ-Treap）通过分裂和合并的方式来维护树的平衡性。每次按照一个阈值将树分为两个部分，然后对树进行操作后，将两个部分合并。由于其基本操作为分裂和合并，所以可以较为简单的处理区间问题，而且码量较小，但常数较大。

复杂度：\(O(n \log n)\) （期望）

Splay

Splay 的基本操作为旋转 （双旋）每次将操作的节点旋转至根节点，所以每操作一次，树的形态都会发生改变。复杂度为 \(O(n \log n)\) （均摊）

WBLT (Weight Balanced Leafy Tree)

WBLT 是一种 Leafy 的平衡树，将所有信息存储在叶子节点上。同替罪羊树，WBLT 也是依靠设立常数 \(\alpha\) 来保证其平衡性，复杂度为 \(O(n \log n)\) （严格）

可持久化平衡树

路径复制，肥节点。