OI集训 Day9

Content：DP (state, num)
Date：2025.7.25

概览

• 数位 DP
• 状压 DP

内容

状压 DP

状压 DP，即状态压缩 DP，通常情况下和子集问题挂钩，以二进制的第 \(i\) 位表示集合中的每个子集选还是不选。

有一种 \(O(3^n)\) 的子集枚举方式：

for (int i = 0; i < (1 << n); i++) {
    for (int j = i; j; j = (j - 1) & i) {
        // * j 即为 i 的子集
    }
}

数位 DP

数位 DP，即不是以数字为状态进行动态规划，而是和人一样，对于数字的每个数位作为状态，常见问题为：

?> 常见问题
给定区间 \([L,R]\)，求出在这个区间中满足某种条件的数的个数。

例题

洛谷-P1896 互不侵犯

思路

我们定义 \(dp_{i,s,j}\) 表示第 \(i\) 行的放置状态为 二进制表示下的 \(s\) 时的放置 \(j\) 个国王的方案数。

首先根据题意，我们要排除一些不合法的放置状态：

• 对于 \(\forall s\)，如果 \(s \ \& \ s << 1\) 或 \(s \ \& \ s >> 1\) 不为 \(0\)，那么状态 \(s\) 不合法。（不能左右相邻）
• 对于任意相邻两行的状态 \(\forall s,t\)，如果 \(s \ \& \ t\) 或 \(s \ \& \ t << 1\) 或 \(s \ \& \ t << 1\) 不为 \(0\)，那么状态 \(s,t\) 不合法。（题目要求）

然后对于转移就是对于所有合法状态的累加。
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洛谷-P3959

思路

容易发现最后的答案和深度有关，不放就以深度作为状态。

定义 \(dp_{d,s}\) 表示当前树的深度为 \(d\)，在树上的节点的状态为 \(s\)。

转移就是枚举 \(s\) 的子集 \(t\)，方程如下：

\[dp_{d,s} = min_{t \in s} \{dp_{d-1,t} + d \times cost_{t,s}\} \]

其中 \(cost_{t,s}\) 表示从集合 \(t\) 变为集合 \(s\) 的最小花费，可以预处理得到。

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洛谷-P4363 一双木棋 chess

思路

轮廓线 DP。

我们以一个长度为 \(n+m\) 的二进制串表示轮廓线，其中如果第 \(i\) 位为 \(0\)，则向下走，否则向右走。手搓一下样例可以发现状态的转移是将二进制串中的 \(01\) 变为 \(10\)。直接转移不好转移，但是可以记忆化搜索。

定义 \(dp_{s}\) 表示轮廓线的状态为 \(s\) 下的答案。深搜 + 记忆化即可。

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洛谷-P4371 花神的数论题

思路

我们发现直接在十进制下做状态不好表示，而题目的答案和二进制的乘积相关，不妨就直接以二进制表示状态。定义 \(dp_{i,j,k}\) 表示当前枚举到了二进制下的第 \(i\) 位，数字最后在二进制下有 \(j\) 个 \(1\)，目前已经选择了 \(k\) 个 \(1\) 的方案数。

答案即为 \(\Large \prod_{i=1}^{\log_2n} i^{dp_{\log_2 n,i,0}}\)。

注意：统计 \(dp\) 数组的时候不可以取模（也不会爆 long long）

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