The solution of「CF603B Moodular Arithmetic」

\(\textup{CF603B Moodular Arithmetic}\)

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先说好，发现自己讲的很啰嗦，且思路借鉴楼上的题解。

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\(\textup{Description}\)

给定 \(p,k\)，求有多少种方案可以构造出序列 \(f_i\) 使得 \(\forall i, f_i < p\) 且 \(f_{k \cdot x \bmod p} = k \cdot f_{x \bmod p}\)。

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\(\textup{Solution}\)

赛时想的太偏了呀，没有战胜呜呜呜。

我们发现，一个 \(f_i\) 会指向另一个，感觉到会连出一个环。

我们先考虑普通情况，可以这么推，对于 \(f_i\) 会连出的点有：

\[\large f_i \to f_{k \cdot i} \to f_{k ^ 2 \cdot i} \to \cdots f_{k^{y} \cdot i} \]

那么有 \(k ^ {y} \cdot i \equiv i \ (\bmod p)\)，\(i \not\equiv 0\) 时，即 \(k ^ {y} \equiv 1 \ (\bmod p)\)。

我们再代入到题目给出的式子，发现：

\[\large f_i = f_{k ^ y \cdot i} = k ^ y \cdot f_i \]

这样就证明了一定可以化作一个环，且环首 \(f_i\) 我们知道后整个环就定下来了。

此时所有环长相等，都是是 \(y\)，即满足 \(k ^ {y} \equiv 1 \ (\bmod p)\) 的最小正整数。

因为是第一次遇到，且 \(y,p\) 互质，这个是费马小定理的一个推论。

由于 \(f_i\) 有 \(p\) 种选法，故每个环有 \(p\) 种方案。

总共有 \(\frac{p - 1}{y}\) 个环，于是贡献为 \(p^{\large \frac{p - 1}{y}}\)。

接着思考一些特殊情况，比如 \(k = 0 / 1\) 的情况，因为 \(0\) 的时候就不可能形成环了，而 \(1\) 的时候就变成一堆自环了，所以需要特判断。这也是赛时给我们的部分分。

• \(k = 0\)，只有 \(f_0\) 受影响，后面随便选，即 \(p ^ {p - 1}\)；
• \(k = 1\)，所有的都不受影响，贡献是 \(p ^ p\)。

最后，\(y\) 直接暴力去找就可以了，费马小定理保证了存在性，且最多跑 \(p - 1\)，非常的好。

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\(\textup{Code}\)

\(\textup{Rec.}\)

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const long long inf = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const int MOD = 1e9 + 7;
int P, K, ans;
int qpow( int a, int b ){
    int ans = 1;
    while( b ){
        if( b & 1 ) ans = ( ans * a ) % MOD;
        a = ( a * a ) % MOD;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}

void slove(){
    cin >> P >> K;
    if( K == 0 ){
        cout << qpow( P, P - 1 );
        return;
    }
    if( K == 1 ){
        cout << qpow( P, P );
        return;
    }
    int cnt = 1, now = K;
    while( now != 1 ){
        now = ( now * K ) % P;
        cnt ++;
    }
    cout << qpow( P, ( P - 1 ) / cnt );
}
signed main(){
    // freopen( "hard.in", "r", stdin );
    // freopen( "hard.out", "w", stdout );
    ios::sync_with_stdio( false );
    cin.tie( 0 );
    cout.tie( 0 );
    int T = 1;
    // cin >> T;
    while( T -- )
        slove();
    return 0;
}

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\(\textup{Last}\)

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