AtCoder ABC183 E - Queen on Grid

题意

给定一个h*w的地图，起点是（1,1），终点是（h,w）。地图上‘#’无法穿过，移动规则是向下、向右、向右下方移动，一次移动格数不限，就是不可以穿过‘#’，现在为从起点到终点的方案（对1e9+7）取模。

思路

很明显的dp.dp[i][j]表示到第i行第j列的方案数，如果从左边转移过来的话就是 dp[i][j]+=dp[i][j-k] (k=1,2,3,...,j-1),如果map[i][j-k]=‘#’就停下来，剩下两个方向同理。但是这么写的话复杂度是
O（n³）,会超时，所以就要想办法优化。仔细分析发现超时的原因在于算dp[i][j]要把之前dp[i][j-k],dp[i-k][j],dp[i-k][j-k]的值都给加起来，所以我们可以用前缀和，cnt[k][i][j]
(k=0,1,2)表示3个方向上的方案总数，每次算一个dp[i][j]我们就更新cnt[k][i][j]，这样算下一个dp[i][j]的时候就可以直接用了，下面看代码。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=1e9+7;
char mymap[2005][2005];
ll dp[2005][2005],cnt[2005][2005][3];
int main(){
	int n,m;
	cin>>n>>m;
	for (int i=1;i<=n;i++){
		for (int j=1;j<=m;j++){
			cin>>mymap[i][j];
		}
	}
	dp[1][1]=1ll;
	for (int i=1;i<=n;i++){
		for (int j=1;j<=m;j++){
			if (mymap[i][j]!='#'){
				dp[i][j]=(dp[i][j]+cnt[i-1][j-1][2]+cnt[i-1][j][0]+cnt[i][j-1][1])%mod;
				cnt[i][j][0]=(cnt[i-1][j][0]+dp[i][j])%mod;
				cnt[i][j][1]=(cnt[i][j-1][1]+dp[i][j])%mod;
				cnt[i][j][2]=(cnt[i-1][j-1][2]+dp[i][j])%mod;
			}
			else{
				for (int k=0;k<3;k++)   cnt[i][j][k]=0;
			}
		}
	}
	cout<<dp[n][m];
	return 0;
}