矩阵

一、矩阵的定义

对于 \(m×n\) 个数的矩阵 \(a_{i,j},i=[1,m],j=[1,n]\),有 \(m\) 行 \(n\) 列，称为 \(m×n\) 矩阵，这个矩阵排列如下：

\[\left[\begin{matrix} a_{1,1} & a_{1,2} & ⋯ & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & ⋯ & a_{2,n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m,1} & a_{m,2} & ⋯ & a_{m,n} \\ \end{matrix}\right] \]

若一个矩阵 \(A\) 的所有数数均为实数，称 \(A\) 为实矩阵；若 \(A\) 的所有数都为复数，称 \(A\) 为复矩阵。

二、矩阵运算

1.加法运算

若有两个矩阵 \(A,B\)，\(A\) 为 \(m×n\) 个数 \(a_{i,j},i=[1,m],j=[1,n]\) 的矩阵，\(B\) 为 \(y×x\) 个数 \(b_{u,v},u=[1,y],v=[1,x]\) 的矩阵，则

\[A+B=\left[\begin{matrix} a_{1,1} + b_{1,1} & a_{1,2} + b_{1,2} & ⋯ & a_{1,n} + b_{1,x} \\ a_{2,1} + b_{2,1} & a_{2,2} + b_{2,2} & ⋯ & a_{2,n} + b_{2,x} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m,1} + b_{y,1} & a_{m,2} + b_{y,2} & ⋯ & a_{m,n} + b_{y,x} \\ \end{matrix}\right] \]

运算律：

（1）交换律：若有两个矩阵 \(A,B\)，则 $$A+B=B+A$$

（2）结合律：若有三个矩阵 \(A,B,C\)，则 $$(A+B)+C=A+(B+C)$$

2.减法运算

若有两个矩阵 \(A,B\)，\(A\) 为 \(m×n\) 个数 \(a_{i,j},i=[1,m],j=[1,n]\) 的矩阵，\(B\) 为 \(y×x\) 个数 \(b_{u,v},u=[1,y],v=[1,x]\) 的矩阵，则

\[A+B=\left[\begin{matrix} a_{1,1} - b_{1,1} & a_{1,2} - b_{1,2} & ⋯ & a_{1,n} - b_{1,x} \\ a_{2,1} - b_{2,1} & a_{2,2} - b_{2,2} & ⋯ & a_{2,n} - b_{2,x} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m,1} - b_{y,1} & a_{m,2} - b_{y,2} & ⋯ & a_{m,n} - b_{y,x} \\ \end{matrix}\right] \]

3.数乘运算

若有一个矩阵 \(A\) 和一个正整数 \(b\)，\(A\) 为 \(m×n\) 个数 \(a_{i,j},i=[1,m],j=[1,n]\) 的矩阵，则

\[b\cdot A=\left[\begin{matrix} a_{1,1}b & a_{1,2}b & ⋯ & a_{1,n}b\\ a_{2,1}b & a_{2,2}b & ⋯ & a_{2,n}b \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m,1}b & a_{m,2}b & ⋯ & a_{m,n}b\\ \end{matrix}\right] \]

数乘的运算律：

（1）若有两个矩阵 \(A,B\) 和数 \(c\)，则 $$c(A+B)=cA+cB$$

（2）若有矩阵 \(A\) 和数 \(b,c\)，则 $$(b+c)A=bA+cA$$

（3）若有矩阵 \(A\) 和数 \(b,c\)，则 $$(bc)A=c(dA)$$

4.乘法运算

若有两个矩阵 \(A,B\)，\(A\) 为 \(m×n\) 个数 \(a_{i,j},i=[1,m],j=[1,n]\) 的矩阵，\(B\) 为 \(y×x\) 个数 \(b_{u,v},u=[1,y],v=[1,x]\) 的矩阵，我们记 \(X=AB\)，则 \(X\) 中的第 \(i\) 行第 \(j\) 列是

\[X_{i,j}=\sum \limits_{k = 1}^{n}a_{i,k}b_{k,j} \]

乘法的运算律：

（1）结合律：若有三个矩阵 \(A,B,C\)，则 $$(AB)C=A(BC)$$

（2）分配律：

• 若有三个矩阵 \(A,B,C\)，则 $$(A+B)C=AC+BC$$
• 若有三个矩阵 \(A,B,C\)，则 $$C(A+B)=CA+CB$$