JOISC 2019 简要题解

「JOISC 2019 Day1」考试

• 略

「JOISC 2019 Day1」聚会

• 题意：交换，你可以问 3 个点，知道到 3 个点距离和最小的点，你要问出树的形态
  保证 \(deg_u\le 18,n\le 2000\)，可以问 40000 次

• sol：考虑链怎么做（链顶为 \(x\)），随一个 \(u\)，通过循环可以把点分到两边，然后递归求，次数为 \(n\log n\)
  在树上的情况，我们随一个点 \(x\)，求出 \(x\to 1\) 链上的所有点即顺序，然后分成若干个子树递归做
  由于保证了度数，所以可以在 40000 次内完成

「JOISC 2019 Day1」馕

• sol：每次选需要最短的人切，容易归纳证明一定合法

「JOISC 2019 Day2」两个天线

• 给定 \(a_i,b_i,c_i\)，若 \((i,j)\) 满足 \(a_i\le d(i,j)\le b_i,a_j\le d(i,j)\le b_j\)，则可以贡献 \(|c_i-c_j|\)
  每次问区间 \([l,r]\) 中，最大的贡献 \((i,j)\) 是多少

• sol：绝对值可以拆开不考虑
  考虑从左到右扫描线，在到 \(j\) 时，将 \(j=i+a_i\) 的 \(i\) 标记为合法，到 \(i+b_i+1\) 时标记为非法
  然后将 \([j-b_i,j-a_i]\) 的答案，执行 \(ans_i:=max(ans_i,c_j-c_i)\)，注意到这里只需将合法设为 \(-c_i\)，非法设为 \(\infty\)
  那么就是要求出历史最大值，用线段树可以维护

「JOISC 2019 Day2」两道料理

• sol：考虑朴素的 DP，即 \(f_{i,j}=f_{i-1,j}+p_i[a_i+b_j\le S_i],f_{i,j}=f_{i,j-1}+q_j[a_i+b_j\le T_j]\)
  考虑按 \(i\) 转移，\(f[i-1]\to f[i]\)，第一种操作相当于是对一个前缀加上 \(p_i\)，第二种操作为 \(f_j:=max(f_j,f_{j-1}+q_j)\)
  其中每个 \(q_j\) 最多变化一次，我们维护差分数组 \(d\)，那么就是 \(d_i:=max(d_i,q_i)\)
  那么操作变成了：\(if(q_i>d_i) d_{i+1}-=q_i-d_i,d_i=q_i\)
  维护 \(w_i=d_i-q_i\)，那么会变成 \(if(w_i<0) w_{i+1}+=w_i,w_i=0\)
  那么我们维护所有 \(w_i\) 非 0 的位置，每次更新 \(w_i\) 后往后将 \(w<0\) 的推平，复杂度均摊是 \(n\log n\) 的

「JOISC 2019 Day3」指定城市

• sol：有结论：当 \(i\ge 2\) 时 \(S_i\subset S_{i+1}\)（用调整法可以证明），那么我们只需要每次选贡献最大的点就可以了
  用线段树方便维护出贡献

「JOISC 2019 Day3」开关游戏

• sol：容易发现一定是先赋值再反转，那么我们 DP，维护到 i 时前面覆盖的是什么（0/1/2）
  可以方便的知道 i 有没有反转进而算出贡献

「JOISC 2019 Day3」穿越时空 Bitaro

好题

• sol：首先将第 i 个的区间 \([l,r]\) 变成 \([l-i,r-i]\)
  我们维护能到达的时间区间 \([L,R]\)，若下一个有交，那么变成 \([max(l,L),min(R,r)]\)
  否则，我们表示为 \((a,b,c)\)，即进去是 a，出来是 b，代价为 c
  注意到这些二元组，三元组是可以合并的，我们用线段树维护合并的结果即可

「JOISC 2019 Day4」蛋糕拼接 3

略

「JOISC 2019 Day4」合并

• sol：将能合并的点都合并过后，答案即为 \(\lceil\frac {cnt}2\rceil\)，即用叶子覆盖所有边即可

「JOISC 2019 Day4」矿物

• sol：先用 \(2n\) 次分成两个集合，然后考虑将 \(A\) 中前一半点亮，\(B\) 中一个一个放进去查
  次数为 \(1.5n\log n\)，考虑到次数为 \(F(n)=(1+p)n+F(pn)+F((1-p)n)\)，得到当 \(p\sim 0.4\) 时更优