联合省选 2021 简要题解

「联合省选 2021 A | B」卡牌游戏

• sol：可以枚举 \(l,r\) 表示保留 \(a_l,\dots a_r\)，注意到若 \(min(b_i)(i<l)<a_{l}\)，则 \(l+1\) 一定不比 \(l\) 优
  对于 \(r\) 同理，现在的问题就是 \(max(a_r,max(b_i)(i<l))-min(a_l,min(b_i)(i>r))\)
  注意到若枚举 \(l\) 且 \(a_r<max(b_i)(i<l)\)，那么 \(r-1\) 一定不比 \(r\) 由，双指针扫到最优的 \(r\) 即可，同理可以枚举 \(r\) 对一些最优的 \(l\) 产生贡献
  复杂度 \(O(n)\)

「联合省选 2021 A」矩阵游戏

• sol：首先随便构造一个，注意到所有的调整操作都形如：选择一行，对奇数列 + x，偶数列 - x
  考虑每行操作为 \(c_i\)，对列同理，设为 \(d_j\)
  那么就存在限制：\(0\le a_{i,j}\pm c_i\pm d_j\le 10^6\)，将奇数行和偶数列反号就可以差分约束了
  复杂度 \(O(n^3)\)

「联合省选 2021 A | B」图函数

• sol：即求删去前 \(i\) 条边，前 \(j\) 个点，\(j+1\) 好点强连通分量的大小之和
  考虑枚举 \(j\)，一条一条加入边，求出每个点在加入了 \(t\) 条边后可以从 \(j+1\) 到达
  用反图求出每个点在加入 \(t\) 条边后可以到达 \(j+1\)
  现在考虑如何求出，类似最短路（每次选最大的边扩展），可以做到 \(nm\log n\)
  考虑一种巧妙的做法，维护 \(j+1\) 的连通块 \(S\)，若当前存在一条边 \((u,v)\) 使得 \(u\in S,v\notin S\)，那么我们从 \(v\) 开始 \(dfs\) 所有点
  那么一个点只需要被 \(dfs\) 到一次就可以求出最小时间
  复杂度 \(O(nm)\)

「联合省选 2021 A | B」宝石

• sol：处理出倍增数组，在 \(lca\) 的另外一头要套一个二分，复杂度 \(O(n\log^2n)\)
  需要用桶维护链上某个颜色最后一次出现的点

「联合省选 2021 A | B」滚榜

• sol：容易得到枚举排列的做法，求出每个点最少被加多少就可以了
  下面考虑状压 dp，每个点的贡献有两个：若编号比前面的大，那要多抬一个，若值比前面的大，那要多抬 \(a_i-a_j\)
  注意到后面的贡献可以在当前抬的时候提前计算，故只需要压前一个是什么就可以了
  复杂度 \(O(2^nn^2m)\)

「联合省选 2021 A」支配

• sol：直接支配树 \(O(qm\alpha(n))\) 可以有 75 分
  考虑优化，注意到若 \(u\) 改变，则 \(u\) 在支配树上的子树都改变
  称最高的改变的点为本源点，那么本源点的父亲一定不再支配它
  下面考虑求出本源点，若 \(fa_u\) 不再支配 \(u\)，那一定存在路径：\(1\to x\to y\to u\)
  使得 \(1\to x\) 不经过 \(fa_u\)，那么就是要求 \(fa_u\) 不支配 \(x\)
  另外就是 \(y\) 可以不经过 \(fa_u\) 到 \(u\)，我们枚举 \(u\)，可以预处理出所有合法的 \(y\)
  预处理的复杂度为 \(O(n(n+m))\)，询问只需要枚举 \(u\)，复杂度 \(O(nq)\)