WC 2021 简要题解

「WC2021」括号路径

• 题意：给 n 个点 m 条边的图，从 \(u\) 到 \(v\) 有个颜色为 \(c_e\) 的右括号，从 \(v\) 到 \(u\) 有个为 \(c_e\) 的左括号
  问 \((s,t)\) 的对数，使得从 \(s\) 可以走一条合法的括号序列到 \(t\)

• sol：首先注意到若 \((s,t)\) 合法则 \((t,s)\) 合法
  我们考虑将可以互相到达的点缩到一个连通块中，那么答案即为 \(\sum \binom{cnt_i}{2}\)
  发现合并联通块的过程大致如下：选择一个点 \(v\) 和其颜色相同的边 \((u_1,v),(u_2,v)\dots\)
  将 \(u_1,u_2,\dots\) 合并为一个集合
  考虑每次将 \((a,b)\) 合并，即将其出边合并，每次合并最多会新增 \(\min(|e_a|,|e_b|)\) 个合并事件
  将这些事件扔进队列后继续合并就可以了
  事件数是 \(m\log m\) 级别的，用 \(map\) 存边（注意到只需要存每种颜色的最后一条边和后面的合并）
  复杂度为 \(O(m\log^2m)\)

「WC2021」表达式求值

• sol：注意到可以求出 \(\ge x\) 的方案数，那么本质不同的大小关系只有 \(2^m\) 种
  对每种关系求一遍，复杂度 \(O(2^m(n+|S|))\)

「WC2021」斐波那契

• 给出 \(mod\le 1e5\) 和 \(n\) 次询问，每次给出 \(fib_0=a,fib_1=b\)，求最小的 \(p\) 使得 \(fib_p=0\)

• sol：打表得知周期最大为 \(3.75\times 10^5\)，考虑 \(mod\) 为质数的情况，即求 \(bfib_{p-1}+afib_{p-2}=0\mod mod\)
  注意到 \(a,b\) 非 0，且 \(fib_{p-1},fib_{p-2}\) 不同时为 0，故我们预处理非 0 的 \(\frac{fib_{p-1}}{fib_{p-2}}\) 即可
  考虑 \(mod=p_1p_2p_3\dots p_k\)，我们对每个 \(p_i\) 处理出 \(\frac{fib_{p-1}}{fib_{p-2}}\) 的周期 \(T_i\)，那么最后 \(excrt\) 合并即可
  考虑 \(mod\) 一般的情况，对于 \(p_i^{c_i}\) 求出其周期 \(T_i\)，主要问题是 \(fib_{p-2}\) 不存在逆元
  注意到此时 \(fib_{p-1}\) 存在逆元（因为相邻两项不同时整除 \(p_i\)），此时我们预处理出 \(\frac{fib_{p-2}}{fib_{p-1}}\)
  同时需要注意询问 \((a,b)\) 时，求出 \(d=gcd(a,b,mod)\)，然后 \(a:=a/d,b:=b/d,mod:=mod/d\)
  此时 \(a,b\) 存在逆元，容易发现这样需要预处理 \(p_i^{1\dots c_i}\) 的每种情况，复杂度 \(O(mod\log mod+n\log mod\log\log mod)\)