2019-2020 ACM-ICPC Latin American Regional Programming Contest

代码见：戳

• easy: EIM
• medium-easy: BDFKL
• medium: ACJ
• medium-hard: H

A - Algorithm Teaching

题意 给一些集合，现从每个集合中选出一些子集，使得被挑选的集合不是包含关系。

集合之间的包含关系是偏序关系。对 \(n\) 个集合的每个子集建点，根据包含关系连边。根据 Dilworth's Theorem，最小链划分即为答案，求用最少的不交路径覆盖所有点即可。拆点建图，点数 - 二分图最大匹配，即为答案。

B – Build the Perfect House

题意 平面直角坐标系，给 n 个点，画一个面积最大的正方形，不包含任何点。

画一个(1,1),(1,-1)(-1,1),(-1,-1) 的正方形，转点。二分答案，每个点会将旋转角度限制在若干个区间的交内，如果一个位置被 \(n\) 个区间覆盖，就 YES 了，扫描线 check 即可。

C – Cut Inequality Down

题意 第 i 天可以获得 \(a_i\) 的金币，金币数超过 R，回到 R，小于 L 回到 L。多组查询，每组查第 l 天有 x 金币，那在第 r 天有多少金币。

先架好 ST，对于每组查询，二分求出下一次碰壁的时间，再二分求出下一次碰壁的时间，再二分求下一次碰壁的时间 ..... 等等，\(state(pos, 0/1)\) 表示在 \(pos\) 位置的上/下边界这样一个状态，这个状态的后继唯一，那倍增多好啊！排骨龙才一步步跳，\(nex(pos, 0/1, k)\) 表示从状态 \(state(pos, 0/1)\) 转移 \(2^k\) 之后的后继是谁。对于查询，先从 \(B\) 开始二分求出第一次碰壁的状态，再从该状态倍增，求出在到达位置 \(E\) 之前最后一个碰壁的状态是谁，从该状态到 E 的过程，不会碰壁了，前缀和差分计算此段收益即可。

D – Dazzling Stars

题意 平面直角坐标系，有 n 个点，点有点权，需要旋转一个角度，使得按 y 为第一关键字，x 为第二关键字从小到大排序，点权不减。

• 绕一个点旋转所有点相当于把print的方向旋转
• 枚举两个点，能将print的角度限制在一个区间，然后求所有的交
• 复杂度 \(O(n^2logn)\)

\(O(n logn)\) 做法：先考虑所有点亮度不同的情况，根据传递性，只需限制亮度 k 高的点位置高于亮度 k+1 高的点。再考虑有亮度相同的的点，对每种亮度做凸包，亮度值 k 高的点位置的凸包最低点，在，亮度值 k+1 高的点形成凸包最高点上方即可，求凸包切线，即可确定限制条件。

E – Eggfruit Cake

题意 给一个首尾相连的字符串，求有多少区间长度不大于S且至少有一个字符’E‘

• 尺取一哈

F – Fabricating Sculptures

题意 堆 A 个箱子，第 k 层箱子不能比第 k+1 层箱子多，最下一层有 B 个箱子，求方案数。

按层决策。\(f[i][j]\) 表示放置了 \(i\) 个格子，最上面一层有 \(j\) 个格子的方案数，\(f[i][j]=\sum_{x=j}^{S} f[i-j][x]*(x-j+1)\)，预处理 \(f[i-j][🐶] 和 f[i-j][🐶]*🐶\) 后缀和即可。

G – Gluing Pictures

题意 给字符串s和t，你需要给s拍若干张照片，然后把它们按某种顺序拼起来得到字符串t，求最少拍多少张照片

• 每次贪心地选择极长的一段拍照

H - Hold or Continue?

\(f[h][c][x]\) 表示对手 \(h\) 分，我有 \(c\) 分，buffer 里有 \(x\) 分，获胜的概率。

有两种转移

• hold：如果 \(c+x \leq 75\) 转移到 \(f[c+x][h][0]\)，否则转移到 \(f[c][h][0]\)。
• continue: 枚举🐶，转移到 \(f[c][h][x + 🐶]\) 或者 \(f[h][c][0]\)

完蛋了，转移成环了，但我们发现考虑 \(f[h][c][🐶]\) 和 \(f[c][h][🐶]\) 的转移，扔掉 \(f[h][c][0], f[c][h][0]\) 的状态，就不会成环了。

于是可以二分 \(f[c][h][0]\) 的取值 \(x\) 求解出，\(f[h][c][🐶]\)，再用 \(f[h][c][🐶]\) 求出，\(f[c][h][🐶]\)，根据现在的 \(f[c][h][0]\) 和 \(x\) 大小关系，调整左界或者右界。

I - Improve SPAM

题意 DAG上从1号点到其他终止点的路径方案数

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J - Jumping Grasshopper

题意 憨憨跳跃，支持修改和查询

• LCT动态维护森林
• 并支持查询前缀后缀比某个值大的第一个位置，可以线段树搞一搞
  敲完代码才猛然后发现上述做法很很很假...
  正解：
• 直接上线段树维护植物高度最大值，并支持查询比某点高的植物中小于x且最大的下标以及大于x且最小的下标
• 对于每次查询要么直接从当前点溜走，要么从左右两区间最大值的极小者的右侧（左侧）的一个点（或不存在）溜走， 可以想象两根高柱子把自己夹在中间

注：当然还有更卜的做法，比如线段树乱搞，就是比较难写，就不赘述了~

K – Know your Aliens

题意 对于多项式 \(P(x)\) 给出 \(P(2),P(4)....P(2n)\) 是正数还是负数。构造 \(P(x)\)

先根据零点存在定理，构造零点的序列 \(\{a_i\}\), \(P(x)=\prod (x-a_i)\)，\(P(x)\) 或者 \(-P(x)\) 即为所求。

L - Leverage MDT

题意 给一个 01 矩阵，可以选择一些行翻转。最大化全为 1 的长宽相等的子矩阵

• 按列枚举
• 对于每一列正反跑两遍单调栈即可

M - Mountain Ranges

题意 最长的连续字段，相邻差不超过x

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