7.19 “春意烂漫”？

P6118 [JOI 2019 Final] 独特的城市 / Unique Cities

对于城市 \(u\) 来说，独特城市是以 \(u\) 为根的树上深度唯一的节点。找到直径的两端 \(p, q\)。对于城市 \(u\) 来说，独特城市一定在 \(u \rightarrow p\) 或 \(u \rightarrow q\) 的路径上，证明从略。

分别从 \(p, q\) 出发 DFS，统计不同路径上的答案，然后取最大值。考虑如何计算答案。

需要一个栈。先预处理出以起点为根的树上所有节点的深度 \(dep(u)\)，所有子树的最长链（链在这里指从根节点到叶子节点的路径）及次长链，\(sub(u)\) 中最长链与次长链的长度分别记为 \(M(u)\) 和 \(S(u)\)。

当搜索到节点 \(u\)，栈中需要存的是对于节点 \(u\) 的独特城市。假设祖先的独特城市已经处理好，将 \(fa(u)\) 加入栈中，然后弹出没用的节点。对于栈中元素 \(e\)，如果 \(dep(u) - dep(e) \le M(u)\)，都不是节点 \(u\) 的独特城市，但对于 \(sub(u)\) 子树内的节点，不一定不是独特城市。

注意节点 \(u\) 最长链所在子树 \(sub(L(u))\)，其内部节点 \(v\)，可能满足 \(M(v) \lt dep(v) - dep(e)\)。这需要先处理 \(sub(v)\) 中的节点。对于 \(v\) 来说，如果 \(dep(u) - dep(e) \le S(u)\)，\(e\) 是无用的，因为有距离相同的节点。

而对于 \(sub(u) \backslash sub(L(u))\) 的节点来说，只要 \(dep(u) - dep(e) \le M(u)\)，\(e\) 一定无用，原因显然。

维护栈同时，用桶维护颜色的信息，这是简单的。

看题解时很疑惑为什么是这样维护栈，这样维护的难道不是空的吗。

但是空的说明就是没有，结合上述，弹出的显然对后面没有影响。

如果能意识到无后效性，也就没有那么多疑惑了吧。

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