摘要：
有的时候线段树还是太慢了（需要 \(\log\) 次合并得出答案）。使用猫树可以空间换时间：\(O(n\log n)\) 空间，\(O(1)\) 时间。但是猫树不支持修改。 应用条件：静态，卡时间死/合并复杂度很高。 【构建】 先建出一颗正常的线段树。同时对于 \([l,r]\)，我们预处理 \([ 阅读全文
posted @ 2025-11-15 23:51
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【前置知识】 泰勒展开。设 \(g\) 是一个光滑的函数，\(g(y)=\sum_{n\ge 0} \frac{g^{n}(y_0)}{n!}(y-y_0)^n\). 多项式 exp。 给定多项式 \(a(x)\) 满足 \(a_0=0\)，求 \(\exp a(x)\bmod x^n\)。 设 \ 阅读全文
posted @ 2025-11-15 23:32
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【定义】 对两多项式 \(f,g\)，无常数项且一次项系数非 \(0\)，有：\(f(g(x))=x\iff g(f(x))=x\)。（这个结论需要用到高深的群论知识，不会） 如果 \(f(g(x))=x\)，称 \(f,g\) 互为复合逆。记 \(f^{-1}\) 为 \(f\) 的复合逆。同时可 阅读全文
posted @ 2025-11-15 23:28
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摘要：
【路径计数模型】 【卡特兰数】 组合意义：从 \((0,0)\) 走到 \((n,n)\)，每次向右或者向上，不严格越过对角线的方案数。 它也和长度为 \(2n\) 的合法括号序列个数相等。各种问题都可以转化为卡特兰数。 回忆一下卡特兰数的计算方法。利用了割补和映射。 首先，所有路径条数是 \(\b 阅读全文
posted @ 2025-11-15 23:25
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摘要：
子集卷积 exp 和 ln。 【定义】 首先注意 \(\varepsilon=1\)。 EXP：要求 \(f_0=0\)，定义 \(\displaystyle\exp(f)=\sum_{n\ge 0}\frac{1}{n!}f^n\)。其中 \(f^n\) 表示 \(f\) 的 \(n\) 次子集卷 阅读全文
posted @ 2025-11-15 23:13
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公式：\((f*g)_I=\sum_{S\cap T=\varnothing,S\cup T=I}f_S\cdot g_T\)。 【单位元】 \(\varepsilon=x^0\) 是子集卷积的单位元。注意 \(\varepsilon\) 是一个集合幂级数。容易验证。 【求逆】 给定 \(f=(f_ 阅读全文
posted @ 2025-11-15 23:11
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摘要：
吉司机线段树是势能线段树的一种。由吉如一老师在论文中提出。看本文确认弄懂了【势能线段树】。 【吉司机线段树】 【例一】 HDU 5306 Gorgeous Sequence 支持： 区间对某个数取 \(\min\)。 区间求最大值。 区间求和。 \(n,q\le 10^5\)。 考虑剪枝。对结点记录 阅读全文
posted @ 2025-11-15 21:52
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摘要：
常见于 DP 优化。但这个 trick 的本质应该比 DP 优化更深刻。 DP 的转移是 DAG，如果枚举起点，从不同起点出发，求到终点的贡献；（当贡献可逆时）可以反过来求终点到起点的贡献，则省略了枚举起点的步骤。 可以理解为反求贡献系数。 特点： 贡献系数固定（DAG 边权固定）。 不同起点只有 阅读全文
posted @ 2025-11-15 21:32
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