CF 2400~3000 flows 板刷

CF62E World Evil

远古 2700。

给定 \(n\times m\) 网格图，每条边有容量。令第一列为源点，第 \(m\) 列为汇点，求最大流。\(n\le 5,m\le 10^5\)。

最大流转最小割，然后状压 DP 即可。\(dp[i][S]\) 表示前 \(i\) 列阻断了 \(S\) 内的行的最小代价。

CF103E Buying Sets

给定 \(n\) 个集合，每个集合有属性 \(a_i\)。题目保证对于任意的 \(k\)，任意 \(k\) 个集合，它们并的大小 \(\ge k\)。
求一个集合选法，要求它们的并大小等于选的个数，最大化所选的集合属性之和。

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2900，比较有意思的题。

容易想到把集合作为左部点，元素作为右部点，集合向它包含的元素连边。问题转化为给定一张二分图，在左部选若干个点，满足右边被覆盖的点的个数与左边选的个数相等，求最大和。

因为任意 \(k\) 个集合的并大小 \(\ge k\)，所以如果给每个元素赋权值 \(-\infty\)，每个集合赋权值 \(+\infty\)，那最优解肯定恰好是集合与元素个数相等。于是转化为最大权闭合子图问题，容易使用网络流解决。

但是这题没完，题解区给出了一种即使不满足任意 \(k\) 个集合并的大小 \(\ge k\) 的条件也能做的方法。

对于一个左部点集合 \(S\)，它合法的条件是 \(|N(S)|=|S|\)。而注意到对于两个合法集合 \(A,B\)，\(A\cup B\) 也是合法的。这说明可以求出一个极小合法集合的组，任意合法方案都可以由其中的集合并起来得到。

怎么求这个组？枚举左部点 \(i\)，求出最小的包含 \(i\) 的合法集合即可。

然后考虑对于 \(i\) 怎么求这个最小的合法集合。

求出最大匹配，维护一个集合 \(S\) 初始等于 \(\{i\}\)。对于任意边 \((u,v)\)，若 \(u\in S\) 且 \(v\) 的匹配点 \(v'\not\in S\)，将 \(v'\) 加入 \(S\)。重复操作直到停止，\(S\) 即为最小的包含 \(i\) 的集合选法。

考虑如何优化这个过程。对于一条非匹配边 \((u,v)\)，令 \(u\) 向 \(v\) 的匹配点 \(v'\) 连边，则 \(i\) 能到达的点集就是 \(S\)。连了这些边时候，问题转化为 "给定一张有向图，每个点有权值，选了一个点就要选它的后继。求最大和。"，容易用闭合子图模型解决。