NOIP 模拟赛：2024-10-12

T1：

break 忘了写，于是 -20pts

离散化，若一个段被 \(\ge 3\) 个线段覆盖，无解；否则答案为 \(2^{cnt}\)，\(cnt\) 为连通块个数。

这题卡常，要用 sort 离散化。

T2：

推式子，注意到轮数 \(\le \log n\) 即可。

T3：

对于同色限制区间，若两个区间有包含关系，只需要保留小的。
把剩下的区间按 \(r\) 排序。
\(dp[i]\) 表示填 \(1\sim i\)，只满足所有右端点 \(\le i\) 的区间的方案数。

\(dp[i]=dp[i-1]\times s-no[i]\)，其中 \(no[i]\) 表示填 \(1\sim i\)、至少不满足一个右端点为 \(i\) 的区间、满足所有右端点 \(\le i-1\) 的方案数。

那么，因为已经去重了，所以右端点为 \(i\) 的区间颜色互不相同。那么如果不满足了某一个右端点为 \(i\) 的区间，剩余右端点为 \(i\) 的区间一定都满足了。
因此 \(no[i]=\sum_{j|r_j=i}d_j\)，其中 \(d_j\) 表示填 \(1\sim r_j\)，不满足区间 \(j\) 的限制，满足所有右端点 \(\le r_j-1\) 的方案数。

接下来考虑 \(d_j\)。设与 \(j\) 同色且相交的区间为 \(j_0,j_1,j_2,\dots,j_k\)，按右端点从大到小排序。则有 \(d_j=dp[l_j-1]-\sum_{s=1}^k d_{j_s}\)。

这是为什么？首先 \(dp[l_j-1]\) 已经满足了所有 \(\le l_j-1\) 的区间，但是它里面包含了可能使得 \(j_0\sim j_k\) 不满足的可能性（因为强制 \(l_j\sim r_j=b_j\)，且 \(dp[l_j-1]\) 可能使得 \(l_s\sim l_j-1=b_j\)）。下一步是计数 "使得 \(j_0\sim j_k\) 至少一个不满足的方案数"。

注意到因为 \(j,j_0\sim j_k\) 是按照右端点从大到小排序的，不包含，而且都有交集。
可以推出：\(l_{j_k}\le l_{j_{k-1}}\le \cdots\le l_{j_0}\le l_j\)，\(r_{j_k}\le r_{j_{k-1}}\le\cdots\le r_{j_0}\le r_j\)。

强制 \(l_j\sim r_j=b_j\)。如果 \(j_x\) 不满足，显然有 \(j_{x-1\sim 0}\) 都不满足。所以 "使得 \(j_0\sim j_k\) 至少一个不满足的方案数" 可以分类为 "使得 \(j_s\) 不满足的方案数"，每一类求和。"使得 \(j_s\) 不满足的方案数" 就是 \(d_{j_s}\)。所以 \(d_j=dp[l_j-1]-\sum d_{j_s}\)。

如何计算 \(d_j\)？因为区间排序后左右端点都有单调性，所以可以用一个队列 \(q[clr]\) 维护此时所有颜色为 \(clr\) 且还有用的区间。\(sum[clr]\) 表示 \(q[clr]\) 中所有区间的 \(d\) 之和。

除了区间去重，复杂度是线性的。

T4：

一种新的树的生成方式。

这个数据范围，一眼状压。考虑一颗以 \(u\) 为根的树 \(T\) 怎么生成：枚举 \(u\) 的一个儿子 \(v\)，\(v\) 的子树为 \(T_0\)，则可以先生成 \(T-T_0\)，然后生成 \(T_0\)，再连接 \(u,v\)。

令 \(dp[T][u]\) 表示使用 \(T\) 内的点构建一颗以 \(u\) 为根的生成树，最小的代价是多少。
转移则枚举 \(T_0,v\)（显然应该有 \(v\in T_0\)），然后 \(dp[T][u]\leftarrow dp[T-T_0][u]+dp[T_0][v]+dis(u,v)\times |T_0|\times (n-|T_0|)\).

这是 \(O(3^n\cdot n^2)\) 的。考虑优化。

注意到当固定了 \(u,T_0\) 时，\(dp[T_0][v]+dis(u,v)\times |T_0|\times (n-|T_0|)\) 只与 \(v\) 有关。考虑计算辅助数组 \(p[T_0][u]=\min_{v\in T_0}\{dp[T_0][v]+dis(u,v)\times |T_0|\times (n-|T|)\}\)。这可以在求出每个 \(dp[S][i]\) 时，枚举 \(j\) 更新 \(p[S][j]\)。复杂度 \(O(2^n\cdot n^2)\)。

于是 \(dp[T][u]=\min_{T_0\subseteq T}\{dp[T-T_0][u]+p[T_0][u]\}\)，复杂度 \(O(3^n\cdot n)\)。