ABC221H Count Multiset

传送门

构造序列型 DP。经典的就是这么一种构造序列的方式：

用两种操作。

1. 增加一个 \(0\)。

2. 将当前序列中所有数加 \(1\)。

由此可以构造出任意一种自然数不降序列。

回到本题。即要求构造一个长度 \(k\) 和为 \(n\) 且没有一种数出现超过 \(m\) 次的不降序列，求方案数。考虑用上面提到的方法构造。

令 \(dp[i][j]\) 表示当前序列中有 \(i\) 个数，和为 \(j\) 的方案数。

但我们还要限制 \(0\) 的出现次数，用额外数组 \(f[i][j]\) 表示有 \(i\) 个数，和为 \(j\) 且不含有 \(0\) 的方案数。

\[dp[i][j]=dp[i][j-i]+\sum_{x=1}^mf[i-x][j] \]

\[f[i][j]=dp[i][j-i] \]