狄利克雷卷积：\((f*g)(n)=\sum_{d|n}f(d)\times g(\dfrac{n}{d})\)。两积性函数的狄利克雷卷积还是积性函数。
组合数小公式：
\[\binom{n}{m}=\binom{n-1}{m-1}+\binom{n-1}{m}\\
\binom{n}{i}i=\binom{n-1}{i-1}n
\]
数列的卷积：\((a*b)_n=\sum_{i=1}^n a_i\times b_{n-i+1}\)。
数列的二项式卷积：\((a*b)_n=\sum_{i=0} \binom{n}{i}a_ib_{n-i}\)
莫比乌斯定义：
\[\sum_{d|n}\mu(d)=\varepsilon(n)\Rightarrow \sum [x=1]=\sum\sum_{d|x} \mu(d)
\]
莫比乌斯反演：
\[g(n)=\sum_{d|n}f(d)\iff f(d)=\sum_{d|n}\mu(d)\times g(\dfrac{n}{d})=\mu*g \text{(狄利克雷卷积)}
\]
二项式反演：
\[g(n)=\sum_{i=0}^n \binom{n}{i}\cdot f(i)\iff f(n)=\sum_{i=0}^n (-1)^{n-i} \binom{n}{i} \cdot g(i)\\
g(n)=\sum_{i=n}^m\binom{i}{n}\cdot f(i)\iff f(n)=\sum_{i=n}^m(-1)^{i-n}\binom{i}{n}g(i)
\]
子集反演：
\[g(S)=\sum_{T\subseteq S}f(T)\iff f(S)=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|S|-|T|}g(T)
\]
\[g(S)=\sum_{S\subseteq T}f(T)\iff f(S)=\sum_{S\subseteq T}(-1)^{|T|-|S|}g(T)
\]
广义二项式定理：
当 \(n\ge 0\)，\((x+y)^n=\displaystyle\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^ky^{n-k}\)。
当 \(n<0\)，\((x+y)^n=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\binom{n}{k}x^ky^{n-k}\)。
这两个式子只差在枚举到 \(+\infty\)。
同时这里涉及到一个负数的组合数。负数的组合数怎么定义？我们知道非负整数的组合数 \(\binom{n}{m}=\dfrac{n^{\underline{m}}}{m!}\)（下阶乘幂），负数也同样定义。
容斥原理：
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min-max 容斥：
\[\max(S)=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|+1}\min(T)
\]
\[\min(S)=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|+1}\max(T)
\]
\[E(\max(S))=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|+1}E(\min(T))
\]
\[E(\min(S))=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|+1}E(\max(T))
\]
各种上下阶乘幂。
普通转下：\(x^n=\displaystyle\sum_{k=1}^n\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}\cdot x^{\underline{k}}\)
普通转上：\(x^n=\displaystyle\sum_{k=1}^n(-1)^{n-k}\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}\cdot x^{\overline{k}}\)
上转普通：\(x^{\overline{n}}=\displaystyle\sum_{k=1}^n\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}x^k\)
下转普通：\(x^{\underline{n}}=\displaystyle\sum_{k=1}^n(-1)^{n-k}\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}x^k\)
下降幂与组合数：
\[\binom{n}{k}k^{\underline{i}}=\binom{n-i}{k-i}n^{\underline{i}}\\
\binom{i}{j}j!=i^{\underline{j}}
\]
斯特林反演：
\[f(n)=\sum_{k=0}^n\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}g(k)\iff
g(n)=\sum_{k=0}^n(-1)^{n-k}\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}f(k)
\]
单位根反演：（模意义下单位根就是原根）
\[[k\mid n]=\dfrac{1}{k}\sum_{d=0}^{k-1}\omega_k^{dn}
\]
\[G(x)=\sum_{i=0}^n a_ix^i\cdot \frac{1}{d}\sum_{j=0}^{d-1}(\omega_d)^{ij}=\frac{1}{d}\sum_{j=0}^{d-1}F(\omega_d^i)
\]
拉格朗日反演：若 \(f,g\) 互为复合逆（\(f(g(x))=x\iff g(f(x))=x\)）
\[[x^n]f(x)=\frac{1}{n}[x^{-1}]f^{-n}(x)
\]
拓展拉反：若 \(f\) 存在复合逆 \(g\)，同时 \(t(f(x))=h(x)\)。
\[[x^n]t(x)=[x^n]h(g(x))=\dfrac{1}{n}[x^{-1}]h'(x)f^{-n}(x)
\]
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