多项式相关学习笔记

多项式求逆

已知$F(x)$，求$G(x)$令$F(x)\times G(x)\equiv 1 ( \text{mod} x^n )$

假设当前求出了$G_0$：

　　　　$F\times G_0\equiv 1\ (\text{mod}\ \ x^{\lceil {n\over 2}\rceil})$

并且我们有：

　　　　$F\times G\equiv 1\ (\text{mod}\ \ x^{\lceil {n\over 2}\rceil})$

相减得：$G-G_0\equiv 0\ (\text{mod}\ \ x^n)$

　　　　$G_0^2-2GG_0+G^2\equiv 0\ (\text{mod}\ \ x^n)$

两边同乘$F$，因为$F(x)\times G(x)\equiv 1 ( \text{mod}  x^n )$，所以：

　　　　$FG_0^2-2G_0+G\equiv 0\ (\text{mod}\ \ x^n)$

　　　　$G=2G_0-FG_0^2\equiv 0\ (\text{mod}\ \ x^n)$

　　　　$G\equiv G_0\times(2-FG_0)(\text{mod}\ \ x^n)$

递归即可。

多项式对数函数

已知$F(x)$，求$G(x)$令$G(x)\equiv \ln F(x) (\text{mod}  x^n)$

我们令$f(x)=ln(x)$，则原式可以化作：

　　　　$G(x)\equiv f(F(x))\ (\text{mod}\ \ x^n)$

两边同时求导：

　　　　$G'(x)=f'(F(x))F'(x)\ (\text{mod}\ \ x^n)$

$ln$的求导公式：$ln'(x)={1\over x}$，所以将原式化为

　　　　$G'(x)={F'(x)\over F(x)}\ (\text{mod}\ \ x^n)$

将$F'(x)$与$F(x)$的逆元相乘得到$G'(x)$，对结果求积分，就是$G$了。

相关公式：${x^a}'=ax^{a-1},\quad \int x^{a}dx={1\over a+1}x^{a+1}$

多项式指数函数

懒得整理了……挂个博客。