[浅谈] 高斯消元

\(\color{purple}\text{P3389 【模板】高斯消元法}\)

所谓高斯消元就是解个 \(n\) 元一次方程。
用矩阵记录每个方程的系数满足第 \(i\) 个方程：\(a[i][1]x_1+a[i][2]x_2+\dots +a[i][n]x_n=a[i][n+1]\)

然后从消元，一个一个项消元，如消除 \(i\) 项。先选定一个此项系数绝对值最大的方程（这样可以减小误差？），然后将他的未知数 \(i\) 的系数化为 \(1\) ，然后把剩下的方程与它相减消除未知数 \(i\) 。

最后一一带回字符串。实现的细节还得看代码。

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const double eps=1e-8;
int read(){
	int x=0,f=1;char c=getchar();
	while(c>'9' || c<'0'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
	while(c>='0' && c<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=getchar();}
	return x*f;
}
int n;
double mp[110][110],ans[110];
int main(){
	n=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=n+1;j++)
			scanf("%lf",&mp[i][j]);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int rcd=i;
		for(int j=i+1;j<=n;j++)
			if(fabs(mp[rcd][i])<fabs(mp[j][i]))rcd=j;
		if(fabs(mp[rcd][i])<eps){
			printf("No Solution\n");
			return 0;
		}//找到系数最大的方程 
		if(i!=rcd)swap(mp[i],mp[rcd]);//换到当前行 
		double div=mp[i][i];//这个地方必须提出来，不然mp[i][i]会被修改
		for(int j=i;j<=n+1;j++)
			mp[i][j]/=div;//将此方程系数变为1 
		for(int j=i+1;j<=n;j++){
			div=mp[j][i];//这个地方必须提出来，不然mp[j][i]会被修改
			for(int k=i;k<=n+1;k++)
				mp[j][k]-=mp[i][k]*div;//消元 
		}
	}
	ans[n]=mp[n][n+1];
	for(int i=n-1;i>=1;i--){
		ans[i]=mp[i][n+1];
		for(int j=i+1;j<=n;j++)
			ans[i]-=mp[i][j]*ans[j];
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)printf("%.2lf\n",ans[i]);
	return 0;
}

\(\color{purple}\text{P4035 [JSOI2008]球形空间产生器}\)

球心到所有点距离是一定的。我们把到第一个点的距离作为半径，球心到其他点的距离都等于这个半径：设球的圆心坐标用 \(b\) 表示：
\((a_1^2-2a_1b_1+b_1^2)+(a_2^2-2a_2b_2+b_2^2)=(a_{i1}^2-2a_{i1}b_1+b_1^2)+(a_{i2}^2-2_{i2}b_2+b_2^2)\)
化简：
\((2a_{i1}-2a_1)b_1+(2a_{i2}-2a_2)b_2=a_{i1}^2+a_{i2}^2-a_1^2-a_2^2\)
高斯消元即可。

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const double eps=1e-8;
int read(){
	int x=0,f=1;char c=getchar();
	while(c>'9' || c<'0'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
	while(c>='0' && c<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=getchar();}
	return x*f;
}
int n;
double mp[110][110],ans[110],tmp[50],now;
bool GSXY(){
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int rcd=i;
		for(int j=i+1;j<=n;j++)
			if(fabs(mp[rcd][i])<fabs(mp[j][i]))rcd=j;
		if(fabs(mp[rcd][i])<eps){
			printf("No Solution\n");
			return false;
		}//找到系数最大的方程 
		if(i!=rcd)swap(mp[i],mp[rcd]);//换到当前行 
		double div=mp[i][i];
		for(int j=i;j<=n+1;j++)
			mp[i][j]/=div;//将此方程系数变为1 
		for(int j=i+1;j<=n;j++){
			div=mp[j][i];
			for(int k=i;k<=n+1;k++)
				mp[j][k]-=mp[i][k]*div;//消元 
		}
	}
	ans[n]=mp[n][n+1];
	for(int i=n-1;i>=1;i--){
		ans[i]=mp[i][n+1];
		for(int j=i+1;j<=n;j++)
			ans[i]-=mp[i][j]*ans[j];
	}
	return true;
}
int main(){
	n=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lf",&tmp[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=n;j++){
			scanf("%lf",&now);
			mp[i][j]=2*now-2*tmp[j];
			mp[i][n+1]+=now*now-tmp[j]*tmp[j];
		}
	} 
	GSXY();
	for(int i=1;i<=n;i++)printf("%.3lf ",ans[i]);printf("\n");
	return 0;
}

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