算法笔记之前缀和

一维前缀和

先看一道例题：

例题

题目传送门：洛谷B3612求区间和

题目描述

给定 \(n\) 个正整数组成的数列 \(a_1, a_2, \cdots, a_n\) 和 \(m\) 个区间 \([l_i,r_i]\)，分别求这 \(m\) 个区间的区间和。

样例输入

4
4 3 2 1
2
1 4
2 3

样例输出

10
5

提示

样例解释：第 1 到第 4 个数加起来和为 10。第 2 个数到第 3 个数加起来和为 5。

• 对于 \(100\%\) 的数据：\(1 \leq n,m\le 10^5\)，\(1 \leq a_i\le 10^4\)。

暴力？

梦想是美好的，但OI生涯是残酷的
很明显只能拿部分分

前缀和

这时候终于请到了我们的主角——前缀和

定义

前缀和（Prefix Sum）：对于一个给定的数列 \(a\), 它的前缀和数列 \(sum\) 是通过递推能求出来得 $sum_i=\sum_{j=1}^{i} $ 部分和。
也就是指某一序列的前 \(n\) 项和。

感性理解

其实前缀和的意思就是对于给定的数组 \(a\)，他的前 \(i\) 项和 \(sum_i\) 就表示数组中 \(a_0-a_i\) 的和，具体为：

\(sum_0=a_0\)
\(sum_1=a_0+a_1\)
\(sum_2=a_0+a_1+a_2\)
……
\(sum_i=a_0+a_1+...+a_i\)

一维前缀和就是基于一维数组的前缀和

询问区间为 \([1\),\(4]\)
那么就是求 \(1\) 到 \(4\) 的和
按照暴力的思路，我们需要从 \(1\) 到 \(4\) 遍历一遍求和
其实我们可以在询问前离线求出前缀和 \(sum\) 数组，而询问的区间就是 \(sum_4\) 的值，完全可以 \(O(1)\) 得到答案
但区间还有可能不是从 \(1\) 开始的

首先得到前缀和数组 \(sum=[4,7,9,10]\)

其实要求的区间 \([2\),\(3]\)，就是用区间 \([1\),\(3]\) 的和减去区间 \([1\),\(1]\) 的和
即询问的区间和为 \(sum_r-sum_{l-1}\)

这样我们就可以在询问过程中用 \(O(1)\) 解决这个问题

实现

首先是预处理出前缀和数组
根据之前的解释，我们可以求出 \(sum\) 数组：

for(int i=1;i<=n;i++)
{
	cin>>a[i];
	for(int j=1;j<=i;j++)
		cin>>sum[i];
}

但这种方法的复杂度太高了，我们需要更好的方法来求前缀和
通过观察最上面的算式，我们不难发现：
\(sum_i=sum_{i-1}+a_i\)
因此可以用 \(O(1)\) 解决这个问题

for(int i=1;i<=n;i++)
{
	cin>>a[i];
	sum[i]=sum[i-1]+a[i];
}

接下来处理询问
在上面已经解决了快速求出区间和的方法，可以直接解决

while(m--)
{
	int l,r;
	cin>>l>>r;
	cout<<sum[r]-sum[l-1]<<endl;
}

接下来是完整的一维前缀和代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e6+1;
int n,m;
int a[N],sum[N];
int main()
{
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		cin>>a[i];
		sum[i]=sum[i-1]+a[i];
	}
	cin>>m;
	while(m--)
	{
		int l,r;
		cin>>l>>r;
		cout<<sum[r]-sum[l-1]<<endl;
	}
	return 0;
}

二维前缀和

例题

题目描述

给一个 \(n\times n\) 矩阵。要求矩阵中最大加权矩形，即矩阵的每一个元素都有一权值，权值定义在整数集上。从中找一矩形，矩形大小无限制，是其中包含的所有元素的和最大 。矩阵的每个元素属于 \([-127,127]\) ,例如

 0 –2 –7  0
 9  2 –6  2
-4  1 –4  1
-1  8  0 –2

在左下角：

9  2
-4  1
-1  8

和为 \(15\)。

请你计算出所给的矩形中加权和最大的矩形。

输入格式

第一行：\(n\)，接下来是 \(n\) 行 \(n\) 列的矩阵。

输出格式

最大矩形（子矩阵）的和。

样例输入

4
0 -2 -7 0
9 2 -6 2
-4 1 -4  1
-1 8  0 -2

样例输出

15

提示

\(1 \leq n\leq 120\)

$$这个人颓废去了，n年后再更$$