ABC134F Permutation Oddness

[ABC134F] Permutation Oddness

好题，牛牛的一个套路 —— $\textsf H$$\textsf {anghang}$

写起来简单，想起来难的一个东西，难点主要是在 状态设置 上

我们可以把 $1 \sim N$ 拆点，于是原题相当于求一个 二分图的完美匹配，并使其 怪异度为 $k$

我们考虑设置 $f_{i, j, k}$ 三个状态

分别表示当前考虑了前 $i$ 对点，当前有 $j$ 对没有匹配上，当前怪异度为 $k$

显然最终答案就是 $f_{N, 0, K}$

这里可以发现，当前没有匹配上 其实就是 最终匹配上的点不是前 $i$ 对点

我们顺序枚举三个状态，当每次 一个新点加入考虑（++i）时，容易发现以下 三种情况

注意，下面 第三维 表示 怪异度 的值 $x$ 均 没有实际意义，且 不代表同一个变量

可以理解成 占位符，关于 怪异度 的部分最后会讨论

新的点中 一对都都没匹配上

显然此时没匹配上的对数 $j$ 多了一个（新增一对，没有匹配）

于是我们需要从 $f_{i - 1, j - 1, x}$ 处转移

我们当前只考虑前 $i$ 对点，也就是将 当前没匹配上（实际匹配 $i - 1 \sim N$）的均看作 一种情况

故 两者都没匹配上 的可能 只有一种，这里的贡献应当是 $f_{i - 1, j - 1, x}$
新的点中 匹配上了一对

显然此时没匹配上的对数 $j$ 不变（新增一对，匹配一对），我们从 $f_{i - 1, j, x}$ 处转移

而 匹配的这一对 有可能是 左部点 $L_i$ 匹配到一个 $R_1 \sim R_{i - 1}$ 中未被匹配的右部点，共 $j$ 个

也可能是 右部点 $R_i$ 匹配到一个 $L_1 \sim L_{i - 1}$ 中未被匹配的左部点，共 $j$ 个

还可能是这一对点 $(L_i, R_i)$ 互相匹配，显然一共三种情况，有 $2j + 1$ 种可能匹配

于是这里的贡献应当是 $(2j + 1)f_{i - 1, j, x}$
新的点中 匹配上了两对

显然此时没匹配上的对数 $j$ 少了一个（新增一对，匹配两对），我们从 $f_{i - 1, j + 1, x}$ 处转移

显然 $L_i$ 可以找 $R_1 \sim R_i$ 中 未被匹配的点，共 $j + 1$ 个

同时 $R_i$ 可以找 $L_1 \sim L_i$ 中 未被匹配的点，共 $j + 1$ 个

当时想为什么这里是 $j + 1$ 而不是 $j$，挺唐诗的

我们是从前 $i - 1$ 对点，还剩 $j + 1$ 对未匹配的 $f_{i - 1, j + 1, x}$ 处转移过来的

当然有 $j + 1$ 种选择，而 $f_{i, j, x}$ 只是表示 当前情况，与 能选择的种数无关

容易知道，$L_i$ 与 $R_i$ 的选择 互不干扰，于是最终将产生 $(j + 1) ^ 2$ 种 可能匹配

于是这里的贡献应当是 $(j + 1) ^ 2 f_{i - 1, j + 1, x}$

加在一起，最终的式子就是 $f_{i, j, x} = f_{i - 1, j - 1, x} + (2j - 1) f_{i - 1, j, x} + (j - 1) ^ 2 f_{i - 1, j + 1, x} $

这时我们来考虑一直忽略的 怪异度 这一维，这里提供一种和 现行题解 不完全相同的理解方式

前面部分参考题解，我们给对 对应点 $(L_i, R_i)$ 之间连线

那么 怪异度 就是 完美匹配 中 跨过连线 的条数，这里可以参考 Tan_Wei_Ye 的这篇题解

我们一直只考虑 前 $i$ 对点的情况，也就是不要把线在一开始连完

只当枚举到 $i$ 时，才考虑 $L_i, R_i$ 的对应的线 产生的贡献，而此时有 $j$ 对没匹配上

换言之就是 $L_1 \sim L_i, R_1 \sim R_i$ 中共有 $2j$ 个点最终将匹配到 $L_{i + 1} \sim L_N, R_{i + 1} \sim R_N$

也就是有这 $2j$ 个点 将会跨过 $L_i, R_i$ 对应的线，于是产生 $2j$ 的 怪异度

这时就可以 准确地描述 上面的转移了，我们每次一定增加 $2j$ 的怪异度，最终方程如下

根据我们对 怪异度 的理解可以发现，上面的分类讨论与 此处怪异度的贡献 并无关系

故 不用担心 上面分类讨论时 忽略怪异度 而对正确性造成影响

\[f_{i, j, k} = f_{i - 1, j - 1, k - 2j} + (2j + 1) f_{i - 1, j, k - 2j} + (j + 1) ^ 2 f_{i - 1, j + 1, k - 2j} \]

枚举并转移即可，具体见代码

由于我们 怪异度 在转移过程中 不会减少（不会有 $f_{i, j, k}$ 需要用到 $f_{x, y, z} ~~ z>k$）

故我们第三维转移只需要 终止在 需求的 $K$ 即可，不需要转移到 理论怪异度上界 $N ^ 2$

#include <bits/stdc++.h>

const int MAXN = 55;
const int MOD  = 1000000007;

using namespace std;

int F[MAXN][MAXN][MAXN * MAXN];
int N, K;

int main () {
	
	cin >> N >> K, F[0][0][0] = 1;
	
	for (int i = 1; i <= N; ++ i)
		for (int j = 0; j <= i; ++ j)
			for (int k = j * 2; k <= K; ++ k)
				F[i][j][k] = (1ll * ((j << 1) + 1) * F[i - 1][j][k - (j << 1)] + 1ll * (j + 1) * (j + 1) * F[i - 1][j + 1][k - (j << 1)] + (j > 0) * F[i - 1][j - 1][k - (j << 1)]) % MOD;
	
	cout << F[N][0][K] << endl;
	
	return 0;
}

posted @ 2024-03-06 12:03 FAKUMARER 阅读(50) 评论(1) 收藏举报

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