数学-不等式
基础知识：
不等式的概念：
不等式（ \(inequality\) ）是一个由不等号（ \(<,\leq,>,\geq,=,\not=\) ）等连接的式子。
不等式的性质：
- \(A \geq C \Rightarrow A\pm B\geq C\pm B\)
- $A \geq C \Rightarrow A\times B\geq C\times B $（ \(B>0\) ）
- $A \geq C \Rightarrow A\times B\leq C\times B $（ \(B<0\) ）
- $A \geq C \Rightarrow A\div B\geq C\div B $（ \(B>0\) ）
- $A \geq C \Rightarrow A\div B\leq C\div B $（ \(B<0\) ）
- $A \geq C \geq 0 \Rightarrow A^B\geq C^B $（ \(B\geq 1\) ）
- $A \geq C \geq 0 \Rightarrow A\div B\leq C\div B $（ \(B<0\) ）
几个重要的不等式：
重要不等式
\[A^2+B^2 \geq 2AB\Rightarrow A^2+B^2\geq 2\lvert AB \rvert
\]
基本不等式
\[A+B\geq 2\sqrt{AB} \ \ \ \ \ \ A,B\in R^+
\]
\[A+B= 2\sqrt{AB} \ \ \ \ \ \ \ A=B
\]
从而有这么句话：
- 积定和最小。
- 和定积最大。
不等式之间的大小比较：
\[\dfrac{2}{\frac{1}{A}+\frac{1}{B}}\leq \sqrt{AB}
\leq \dfrac{A+B}{2} \leq \sqrt{\dfrac{A^2+B^2}{2}}
\]
不等式重要结论：
\[\dfrac{1}{A}+A\geq2\Rightarrow\dfrac{B}{A}+\dfrac{A}{B}\geq2
\]
柯西不等式：
\(\vec {a}=(x_1,y_1), \vec {b}=(x_2,y_2)\)
\[\lvert \vec {a}\vec {b} \rvert \leq \lvert \vec {a} \rvert \lvert \vec{b} \rvert \\
\Rightarrow
\lvert x_1x_2+y_1y_2 \rvert \leq \sqrt{x_1^2+y_1^2}\sqrt{x_2^2+y_2^2}\\
\Rightarrow(x_1x_2+y_1y_2)^2\leq(x_1^2+y_1^2)(x_2^2+y_2^2)
\]
例题：
咕咕咕。
