Jzoj3170 挑选玩具

ABC找到N个箱子，箱子里装着一些玩具，一共有M种玩具，编号从1到M，同一种玩具可能出现在多个箱子里。

ABC决定从中选择一些箱子，把这些箱子中的玩具聚集到一起，必须保证每种玩具至少出现一次。

问ABC一共有多少种选择方案 (1<=N<=1,000,000,1<=M<=20)

第三次看到这个题了，前两次都忘了怎么做了。。。

好的第一眼看上去可以dp做，结果发现只能过50%数据

矩阵明显不可做，让后开始考虑数学方法

考虑容斥原理，我们发现可以用总方案减去至少不出现一种玩具的方案数

令f(S)表示选出的方案中，所有元素都在S中的方案数（但是不要求S每个元素都要出现）

令g(S)表示选出的方案中，不包含任何一个S含有的元素的方案数

那么可以得到Answer=2^N-Σg(S)*(-1)^|S|,g(S)=f(~S)

现在考虑如何快速计算f

我们发现如果对于每个S都求出有几个给出的集合x满足x∩S=x就可以快速计算得到f(S)=2^x-1

而我们发现，f(S)一定被包含于f(S∪M)

所以可以运用分治法来解决：f[x+m]+=f[x]

最后直接统计即可

#pragma GCC opitmize("O3")
#pragma G++ opitmize("O3")
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#define N (1<<m)
#define M 1000000007
using namespace std;
int c[1<<20],w[1<<20],f[1<<20],p[1<<20]={1},n,m,S=0;
void cdq(int l,int r){
	if(l==r){
		f[l]=c[l];
		return ;
	}
	int m=l+r>>1;
	cdq(l,m); cdq(m+1,r);
	for(int i=l;i<=m;++i) f[i+m-l+1]+=f[i];
}
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int x,y,z,i=1;i<=n;++i){
		for(z=0,scanf("%d",&x);x--;z+=1<<y-1)
			scanf("%d",&y);
		++c[z];
	}
	for(int i=1;i<N;++i) w[i]=w[i>>1]^(i&1);
	for(int i=1;i<=n;++i) p[i]=(p[i-1]<<1)%M;
	cdq(0,N-1); 
	for(int i=0;i<N;++i)
		S=w[i]?(S-p[f[N-i-1]]+1)%M:(S+p[f[N-i-1]]-1)%M;
	printf("%d",(S+M)%M);
}