分块学习笔记

对于分块的介绍，分块入门 - 博客园，本文大致总结了一下分块入门题目.

必要补充：通常情况下分块大小取 \(T = \sqrt N\) ，可以参考2017国集论文徐明宽《非常规大小分块算法初探》.

1. P3372 【模板】线段树 1

区间加区间和的模板题，不再赘述.

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2. P3870 [TJOI2009] 开关

无脑分块，用 \(sum_{i}\) 记录块 \(i\) 中 \(1\) 的数量，再记录一下每个块的翻转，翻转两次会变成原来的值，所以我们可以用 bool 或 bitset 类型，翻转操作可以 xor 1 ，更新时散块判断注意异或上翻转标记，增减 \(sum\) ，整块 \(i\) 反转后 \(sum_i = 块长度 - sum_i\) ，同时该块翻转标记异或 \(1\) ；询问时散块暴力，整块 \(i\) 加上 \(sum_i\) 即可.

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3. P3373 【模板】线段树 2

相对于模板一增添一个数组 mul 来标记乘法，加乘分开处理，注意一下顺序.

待补代码.

4. P2801 教主的魔法

题意简化：给定 \(N\) 个数，第 \(i\) 个数为 \(a_i\) ，有 \(Q\) 次操作，每次将 \(a_{l \dots r}\) 加上 \(k\) 或者询问 \(a_{l \dots r}\) 中大于等于 \(k\) 的元素个数，\(N ≤ 10^6\)，\(Q ≤ 3000\).

限制条件不好用线段树等维护，虽然 \(N\) 较大，但 \(Q\) 较小，可以分块.

对于散块直接暴力，对于整块，暴力不可取，但我们可以对整块按值排序后二分查找，总时间复杂度为 \(O(NT\log T+\frac{N^2}{T}\log T)\) ，故分块大小 \(T=\sqrt N\) （分析方法见下题），得到最优复杂度 \(O(N^{\frac{3}{2}}\log N)\).

需要注意的是，更新散块后要对所在块重新排序确保单调性，整块直接 add 标记，询问时排序后的数组非原来的下标，所以把下标也存进去一块排序，枚举时加再判断一下下标即可。

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5. P4168 [Violet] 蒲公英

参考：李煜东《算法竞赛进阶指南》0x44.

简化题意：给定 \(N\) 个数，第 \(i\) 个数为 \(a_i\) ，有 \(M\) 次询问，每次询问 \(a_{l \dots r}\) 的众数，注意，本题强制在线 ，\(n \le 40000\)，\(m \le 50000\)，\(a_i \le 10^9\).

在线区间众数问题，众数不满足“区间可加性”，故不可直接用线段树等维护，考虑分块。

首先，询问一个区间 \([l,r]\) ，\(pos_i\) 为 \(i\) 所在的块的编号，分两种情况：

1. \(l\)，\(r\) 在同一个块内即 \(pos_l == pos_r\) ，直接暴力枚举。

2. 不再同一个块，分整块和散块处理，显然，众数一定来自它们之间，如果我们知道了整块的众数，再处理出现在散块中的数就能得出答案。

解法一

预处理出所有块 \(i\) 到 \(j\) 每个数的出现次数 \(cnt_{i,j}\) ，以及块 \(i\) 到 \(j\) 的众数 \(mode_{i,j}\) ，询问 \([l,r]\) 时我们将散块中的数加入 \(cnt_{l,r}\) 中，同时与 \(mode_{i,j}\) 进行比较，更新当前众数，最后将加入 \(cnt_{l,r}\) 的数减掉.

预处理时，可以发现出现次数是一个区间，完全可以用前缀和替代，用 \(cnt_{i,j}\) 表示前 \(i\) 个块中数 \(j\) 的出现次数，因为 \(a_i\) 对 \(cnt_{pos_i,a_i}\) 到 \(cnt_{块总数,a_i}\) 都有贡献，所以枚举 \(i\) ，\(cnt_{pos_i\dots 块总数,a_i}\) 都加 \(1\) ；询问时，原来的数 \(j\) 在 \(a_{l \dots r}\) 的出现次数 \(cnt_{l,r,j}\) 表示为 \(cnt_{r,j} - cnt_{l-1,j}\) ，散块的数 $j $ 加在 \(cnt_{r,j}\) 中即可；预处理众数，\(mode_{i,j}\) 一定来自 \(mode_{i,j-1}\) 和块 \(j\) 中的数，所以枚举块 \(i\) 和 \(j\) ，先令 \(mode_{i,j}=mode_{i,j-1}\) ，再统计块 \(j\) 中每个数在块 \(i\) 到 \(j\) 的出现次数，比较更新 \(mode_{i,j}\) 即可，这里可以用一个标记数组记录次数，也可以用 \(cnt\) 前缀和求.

注意，询问时不要用 memset 清数组，会贡献 \(O(n)\) 的常数，用什么清什么就行.

分块大小 \(T = \sqrt N\) 可能不是最优，先用 \(T\) 计算，块数量为 \(\frac{N}{T}\) ，预处理时间复杂度 \(O((\frac{N}{T})^2\cdot T+N\cdot\frac{N}{T})=O(\frac{N^2}{T})\) ，单次询问为 \(O(T)\) ，总时间复杂度 \(O(\frac{N^2}{T}+MT)\) ，空间复杂度 \(O(NT)\) ，\(M\) 和 \(N\) 相差不大，不妨把 \(M\) 看作 \(N\) ，则 \(O(\frac{N^2}{T}+MT)=O(\frac{N^2}{T}+NT)\) ，解方程 \(\frac{N^2}{T}=NT\) ，得分块大小 \(T=\sqrt N\) ，则总时间复杂度 \(O(N^{\frac{3}{2}})\) ，空间复杂度 \(O(N^{\frac{3}{2}})\).

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解法二

保留众数数组，用 vector 储存每个数的出现位置（下标），查询一个数在区间 \([l,r]\) 的出现次数，只需在其 vector 中二分最后一个 \(\le r\) 和第一个 \(\ge l\) 的位置再相减，时间复杂度 \(O(\frac{N^2}{T}+NT\log n)\) ，取 \(T = \sqrt{\frac{N}{\log N}}\) ，得最优时间复杂度 \(O(N^{\frac{3}{2}}\sqrt{\log N})\) ，空间复杂度 \(O(N)\) .

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上述算法，虽然空间复杂度更优，但时间复杂度更劣，考虑如何去掉 \(\sqrt{\log N}\) ，即避免二分，可以发现，在询问中判断了一个数出现次数是否大于当前众数的出现次数（设为 \(k\)），如果其在最左侧出现（左侧散块），判断出现次数 \(>k\) 就是判断它后面第 \(k\) 个同类数是否在右边界内，具体方法见代码，右侧散块同理，向左判断即可，时间复杂度 \(O(\frac{N^2}{T}+NT)\) ，取 \(T=\sqrt N\) ，得最优时间复杂度 \(O(N^{\frac{3}{2}})\) ，空间复杂度 \(O(N)\).

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6. P5048 [Ynoi2019 模拟赛] Yuno loves sqrt technology III

卡空间，把上一题的询问函数的返回值改为次数即可.

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7. P4135 作诗

简化题意：简化题意：给定 \(N\) 个数，第 \(i\) 个数为 \(a_i\) ，有 \(M\) 次询问，每次询问 \(a_{l \dots r}\) 有多少数出现偶数次，注意，本题强制在线 ，\(n,m,a_i \le 10^5\).

其实和蒲公英一样，用 \(cnt_{i,j}\) 表示前 \(i\) 个块中数 \(j\) 的出现次数，\(f_{i,j}\) 表示块 \(i\) 到 \(j\) 的答案，显然 \(f_{i,j}\) 一定来自 \(f_{i,j-1}\) 和块 \(j\) ，预处理方法同上题，枚举块 \(i\) 和 \(j\) ，先令 \(f_{i,j}=f_{i,j-1}\) ，再枚举块 \(j\) 内的数，如果一个数出现偶次，增加 \(f_{i,j}\) ，出现奇次且不是第一次则减少，这里用标记数组记录次数，用前缀和会重复计数，询问的逻辑也差不多.

此外，\(cnt\) 和标记数组都有 %2（&1），可以用 bitset 优化常数，不再实现.

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8. P3203 [HNOI2010] 弹飞绵羊

简化题意：有 \(n\) 个装置，第 \(i\) 个装置有一个弹力系数 \(a_i\) ，到达第 \(i\) 个装置会被弹到第 \(i+a_i\) 个装置，若装置不存在即 \(i+a_i>n\) 则会被弹飞，有 \(m\) 次操作，每次询问在第 \(i\) 个装置弹多少次会被弹飞，或者修改 \(a_i\) ，\(n\le2\times10^5\) ，\(m\le10^5\).

有紫握持，没有修改的话这题就很简单，倒推处理次数即可，考虑分块，预处理出装置 \(i\) 弹出所在块的次数 \(cnt_i\) 和落在的位置 \(to_i\) ，倒推分弹飞、弹出块、未弹出块的情况处理；因为是单点修改，块和块之间没有影响，直接重构所在块即可.

总时间复杂度 \(O(\frac{N^2}{T}+NT)\) ，取 \(T=\sqrt N\) ，最优时间复杂度 \(O(N^{\frac{3}{2}})\).

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9. P10590 磁力块

显然 BFS ，每次扩展队首磁石（磁力 \(p\) ，吸引半径 \(r\) )，有距离（到 \(x_0,y_0\) 的距离，用 \(d\) 表示）和质量（ \(m\) ）两个约束条件，考虑分块，先按距离（或质量）给数组排序，在块内再按质量（或距离）排序，存在 \(i\) 使得第 \(1\sim i-1\) 块中每个元素都有 \(d\le r\) ，可以被吸引，第 \(i + 1\) 块及以后的块都有 \(d>r\) ，不能被吸引，因为每段已经按质量重新排序，从 \(1\sim i-1\) 每段左端开始枚举，直到遇到第一个 \(m>p\) 的位置，为了避免重复，将块左端移到这个位置；对于第 \(i\) 段，暴力枚举判断每个元素.

注意，块内排序后破坏了整体顺序，整体排序后要记录每段的最大值（ \(d\) 或 \(m\) ），用于判断 \(i\) 的位置.

总复杂度为 \(O(\frac{N^2}{T}+NT)\) ，取 \(T=\sqrt N\) ，得最优时间复杂度 \(O(N^{\frac{3}{2}})\).

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