树状数组进阶

一、 区间修改+单点查询

例题：洛谷 P3368 【模板】树状数组 2

分析

我们已经知道了如何进行树状数组的单点修改+区间查询，现在要进行区间修改，很容易想到暴力，若左边界为 \(l\) ，右边界为 \(r\) ，进行 \(r - l + 1\) 次单点修改操作修改区间内每个数的值，时间复杂度不可接受。

考虑优化，因为进行的是区间操作，很容易想到差分，开一个数组 d 储存原数组的差分信息，用树状数组维护它的前缀和，进行区间修改操作 1 l r k （含义：将区间 \([l,r]\) 内每个数加上 \(k\)）时，只用将 \(l\) 和 \(r + 1\) 的位置进行单点修改操作 add(l,k) 和 add(r+1,-k) 即可。

对于单点查询的操作，根据差分的性质，可得 \(a_i = \sum_{j=1}^{i}d_j\) ，正好是树状数组维护的差分数组的前缀和信息，所以进行查询操作 query(i) 即可。

时间复杂度

• 区间修改 \(O(log\ n)\)
• 单点查询 \(O(log\ n)\)

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 5e5 + 10;
int d[N], t[N];
int n, m;

int lowbit(int x) { return x & -x; }

void build() {
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        t[i] += d[i];
        int j = i + lowbit(i);
        if (j <= n) t[j] += t[i];
    }
}

void update(int i, int x) {
    while (i <= n) {
        t[i] += x;
        i += lowbit(i);
    }
}

int query(int i) {
    int ans = 0;
    while (i > 0) {
        ans += t[i];
        i -= lowbit(i);
    }
    return ans;
}

int main() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1, prev = 0, x; i <= n; ++i) {
        cin >> x;
        d[i] = x - prev;
        prev = x;
    }
    build();
    while (m--) {
        int op;
        cin >> op;
        if (op == 1) {
            int x, y, k;
            cin >> x >> y >> k;
            update(x, k);
            update(y + 1, -k);
        } else {
            int x;
            cin >> x;
            cout << query(x) << '\n';
        }
    }
    return 0;
}

二、 区间修改+区间查询

例题：LOJ #132. 树状数组 3 ：区间修改，区间查询

分析

我们已经实现区间修改，如何进行区间查询呢？令 \(f(k)\) 为要查询 \(k\) 位置上的前缀和，即 \(f(k)=\sum_{i=0}^ka_i\) ，那么

\[f(k)=\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^id_j， \]

可以发现 \(d_j\) 被加了 \(k-j+1\) 次，所以

\[\begin{align*} f(k) &= \sum_{i=1}^k(k-i+1)d_i \\ &= \sum_{i=1}^k[(k+1)d_i - id_i] \\ &= (k+1)\sum_{i=1}^kd_i-\sum_{i=1}^kid_i \end{align*} \]

现在两项都是前缀和形式，我们已经维护了 \(\sum_{i=1}^kd_i\) ，但无法推导出\(\sum_{i=1}^kid_i\) ，所以可以再开一个树状数组维护 \(\sum_{i=1}^kid_i\) ，这样使用两个树状数组维护差分信息即可实现区间修改+区间查询。

时间复杂度

• 区间修改 \(O(log\ n)\)
• 单点查询 \(O(log\ n)\)

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;

const int N = 1e6 + 10;
ll a[N], d[N], t1[N], t2[N];
int n, m;

int lowbit(int x) { return x & -x; }

void build() {
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        t1[i] += d[i];
        t2[i] += i * d[i];
        int j = i + lowbit(i);
        if (j <= n) {
            t1[j] += t1[i];
            t2[j] += t2[i];
        }
    }
}

void update(int i, ll x) {
    for (int j = i; j <= n; j += lowbit(j)) {
        t1[j] += x;
        t2[j] += i * x;
    }
}

ll query(int i) {
    ll ans = 0;
    for (int j = i; j > 0; j -= lowbit(j)) ans += (i + 1LL) * t1[j] - t2[j];
    return ans;
}

int main() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1, prev = 0, x; i <= n; ++i) {
        cin >> x;
        d[i] = x - prev;
        prev = x;
    }
    build();
    while (m--) {
        int op;
        cin >> op;
        if (op == 1) {
            int l, r, k;
            cin >> l >> r >> k;
            update(l, k);
            update(r + 1, -k);
        } else {
            int l, r;
            cin >> l >> r;
            cout << query(r) - query(l - 1) << '\n';
        }
    }
    return 0;
}

未完...