20230725

复赛

动态规划——01背包

计算当前限制下最高价值

例题：采药

题目描述

时间限制：1s
空间限制：256M
题目描述：
松下问童子，言师采药去，云深不知处，只在此山中
辰辰是个天资聪颖的孩子，他的梦想是成为世界上最伟大的医师。为此，他想拜附近最有威望的医师为师。医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说：“孩子，这个山洞里有一些不同的草药，采每一株都需要一些时间，每一株也有它自身的价值。我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。”
如果你是辰辰，你能完成这个任务吗？
输入格式：
第一行有两个整数T（1 ≤ T ≤ 1000）和M（1 ≤ M ≤ 100），用一个空格隔开，T代表总共能够用来采药的时间，M代表山洞里的草药的数目。接下来的M行每行包括两个在1到100之间（包括1和100）的整数，分别表示采摘某株草药的时间和这株草药的价值。
输出格式：
包括一行，这一行只包含一个整数，表示在规定的时间内，可以采到的草药的最大总价值。
样例输入：

70 3
71 100
69 1
1 2

样例输出：

3

数据范围：
对于30%的数据，M ≤ 10；
对于全部的数据，M ≤ 100。

解题思路

如果dfs遍历每一个是否选择的话，时间复杂度为\(O\left ( n^{2} \right )\)，会TLE

所以用到01背包，记录每一个时间所能采的的草药的最高价值

核心代码

for (int i = 1; i <= alCnt; i++) {
        for (int j = 1; j <= alTime; j++) {
            dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            /*
             * 不选的情况
             * 直接继承上一个物品在当前时间的最大价值
             * 因为不选就相当于和这个物品无关，那么和上一个物品此时间的状态没有区别
             */
            if (j >= aRes[i].time) {//如果时间大于菜这个草药的时间才能采
                dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 1][j - aRes[i].time] + aRes[i].value);
                /*
                 * 计算是不采这个草药价值高还是采这个草药价值高
                 * 后种情况可以计算这个草药的价值和采这个草药时间之前的那一刻能采的最多价值
                 */
            }
        }
    }

例题：美丽手镯

题目描述

时间：0.2s 空间：32M
题目描述：
有N个美丽的手镯，每个手镯有一个重量与美丽值，现在只能拿走最重总和不超过M的手镯，求最大的美丽值之和
输入格式：
第一行输入两个整数N,M
第二行到第N+1行每行输入两个整数Wi,Di,表示重量与美丽值
输出格式：
输出一个整数
样例输入：

4 6
1 4
2 6
3 12
2 7

样例输出：

23

约定：
\(1\le N\le 3402,1\le M\le 12880,1\le W_{i} \le 400,1\le D_{i} \le 1001\)

思路

计算每个重量能到达的最大美丽值

因为数据范围为\(1\le N\le 3402,1\le M\le 12880\)，
如果开dp[3405][12885]会MLE，
所以用一维数组

核心代码

for (int i = 1; i <= cnt; i++) {
        for (int j = maxWei; j >= wei[i]; j--) {
            /*
             * 从后向前遍历：之后的不影响之前的结果
             * 遍历到当前重量：小于这个重量放不下，只有不选一种结果，而不选没有影响，无需考虑
             */
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - wei[i]] + bea[i]);//比较不选（之前的）结果和选了的结果
        }
    }