P3376 网络流【模板】

网络：任意一张有向图，其中有N个点，M条边，源点S，汇点T
我们把c(x,y)称为容量，
把f(x,y)称为流量。

流函数的三大性质：

容量限制：每条边的流量总不可能大于该边的容量
f(x,y)<=c(x,y)
斜对称：正向边的流量=反向边的流量
f(x,y)=-f(y,x)
流量守恒：正向的所有流量和=反向的所有流量和
Any x!=S,x!=T,∑(u,x)∈E f(u,x)=∑(x,v)∈E f(x,v)

在任意时刻，网络中所有节点以及剩余容量大于0的边构成的子图被称为残量网络.
合法的流函数有很多，其中使得整个网络流量之和最大的流函数称为网络的最大流，此时的流量和被称为网络的最大流量
EK算法：
若一条从S到T的路径上所有边的剩余容量都大于0，则称这样的路径为一条增广路
EK算法的思想就是不断用BFS寻找增广路并不断更新最大流量值，直到网络上不存在增广路为止
我们不断寻找剩余流量大于零的边，寻找从S到T的路径，计算路径上各边剩余容量值的最小值dis，则网络的最大流量就可以增加dis，
（经过的正向边容量值全部减去dis，反向边全部加上dis）
反向边：给程序一个反悔的机会，防止直接更改值影响到之后寻找另外的增广路

我们添加正向边的同时添加反向边，更新边权的时候，我们就可以直接使用xor1的方式，找到对应的正向边和反向边（奇数异或1相当于-1，偶数异或1相当于+1）

代码：

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=501000;
long long n,m,s,t;
struct node{
	long long next,v,w;
}e[N];
long long tot=1,vis[N],pre[N],head[N],flag[2506][2506];
long long ans,dis[N];
long long bfs(){
	for(int i=1;i<=n;i++) vis[i]=0;
	queue <long long> q;
	q.push(s);
	vis[s]=1;
	dis[s]=0x3f3f3f3f;
	while(!q.empty()){
		long long x=q.front();
		q.pop();
		for(int i=head[x];i;i=e[i].next){
			if(!e[i].w) continue;
			long long v=e[i].v;
			if(vis[v]) continue;
			dis[v]=min(dis[x],e[i].w);
			pre[v]=i;
			q.push(v);
			vis[v]=1;
			if(v==t) return 1;
		}
	}
	return 0;
}
void update(){
	long long x=t;
	while(x!=s){
		long long v=pre[x];
		e[v].w-=dis[t];
		e[v^1].w+=dis[t];
		x=e[v^1].v;
	}
	ans+=dis[t];
}
void add(long long u,long long v,long long w){
	e[++tot].v=v;
	e[tot].w=w;
	e[tot].next=head[u];
	head[u]=tot;
	e[++tot].v=u;
	e[tot].w=0;
	e[tot].next=head[v];
	head[v]=tot;
}
int main(){
	cin>>n>>m>>s>>t;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int u,v,w;
		cin>>u>>v>>w;
		if(!flag[u][v]){
			add(u,v,w);
			flag[u][v]=tot;
		}
		else{
			e[flag[u][v]-1].w+=w;
		}
	}
	while(bfs()!=0){
		update();
	}
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
} 

Dinic
应用BFS生成分层图，然后用DFS实现多路增广。
代码：

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const long long INF=2019202408;
const int N=500010;
long long n,m,s,t;
long long tot=1,head[N];
struct node{
	long long v,w,next;
}e[N<<2];
long long flag[2600][2600];
long long d[N];
long long vis[N],dis[N],now[N];
long long ans;
int bfs(){
	for(int i=1;i<=n;i++) dis[i]=INF;
	queue<long long> q;
	q.push(s);
	dis[s]=0;
	now[s]=head[s];
	while(q.size()){
		long long x=q.front();
		q.pop();
		for(int i=head[x];i;i=e[i].next){
			int v=e[i].v;
			if(e[i].w>0&&dis[v]==INF){
				q.push(v);
				now[v]=head[v];
				dis[v]=dis[x]+1;
				if(v==t) return 1;
			}
		}
	}
	return 0;
}
int dfs(int x,long long sum){
	if(x==t) return sum;
	int k,res=0;
	for(int i=now[x];i&&sum;i=e[i].next){
		now[x]=i;
		int v=e[i].v;
		if(e[i].w>0&&(dis[v]==dis[x]+1)){
			k=dfs(v,min(sum,e[i].w));
			if(k==0) dis[v]=INF;
			e[i].w-=k;
			e[i^1].w+=k;
			res+=k;
			sum-=k;
		}
	}
	return res;
}
void add(int u,int v,long long w){
	e[++tot].v=v;
	e[tot].w=w;
	e[tot].next=head[u];
	head[u]=tot;
	e[++tot].v=u;
	e[tot].w=0;
	e[tot].next=head[v];
	head[v]=tot;
	return ;
}
int main(){
	cin>>n>>m>>s>>t;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int u,v,w;
		cin>>u>>v>>w;
		if(!flag[u][v]){
			add(u,v,w);
			flag[u][v]=tot;
		}
		else{
			e[flag[u][v]-1].w+=w;
		}
	}
	while(bfs()){
		ans+=dfs(s,INF);
	}
	cout<<ans;
	return 0;
}

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