试题解析2.19

试题解析

$T1$

简化题意

一个序列是优美的当且仅当可以通过操作(将相邻两个数移动到序列任意位置)使序列不降

考虑怎么使这个序列不降,考虑移动会造成的影响,逆序对$+/-2$,或者不变

那么如果有偶数个,那么一定优美,否则一定不优美

如果是偶数个,肯定能构造出一种方案使得逆序对减少到$0$

奇数的话就肯定不可能了

如果重复出现的数字,可以规定大小关系,那么可以改变奇偶性,必然是优美的

那么不考虑相同的情况,那么对于一个排列,答案就是偶-奇,这个东西就很行列式

行列式就是所有排列,偶-奇,我们最后求得也是两个不同的差,那么求一遍行列式

发现是$O(n^3)$

不是很优,而且绝对过不了,那么观察这个矩阵发现是海森堡矩阵

那么这个考虑行列式的本质,那么就是第一行两个选一个,第二行两个选一个...

那么考虑$dp$转移,就能得出根据奇偶性求出两个的权值和

设置$dp[i][j][k]$表示第$i$行,可以选$j$,奇偶性是$k$的价值和

$dp[1][1][0]=a_2$

$dp[1][2][0]=a_1$

那么就转移

$dp[i+1][i+1][k]+=dp[i][j][k\ xor\ ((i-j)\&1)]\times dat[i][j]$

就是说需要上一步什么状态来转移

$dp[i+1][j][k]+=dp[i][j][k]\times dat[i][i+1]$

那么一开始记录所有情况$sum$

最后枚举一下最后一行选什么,顺便记录一下奇偶性就好了

最后得到最后行列式是奇数的总贡献$rs[1]$

那么偶数就是$sum-rs[1]$，直接输出就好了

$T2$

$W(n)=\sum_{i=1}\phi(p_1^{k_1}...p_{i-1}^{k_{i-1}})\times p_i \times \sigma(p_{i+1}^{k_{i+1}}...)$

这个式子递推

$W(n\times p^\alpha)=W(n)\times\phi(p^\alpha)+\sigma(n)\times p$

就$Min\_25$维护两个就好了

$T3$

先说一个没关的式子(只是好玩)

$gcd(f_n,f_m)=f_{gcd(n,m)}$

式子的递推关系可以表示为$f_n=9f_{n-1}+12f_{n-2}$

给定$n,P,a,b,c$,求$gcd(af_n+bf_{n+1},cf_n+df_{n+1})$

打表可得,设$g_n=gcd(f_n,f_{n+1})$

$g_0=g_1=1,g_n=3g_{n-2}$

更相减损可以把$b,d$其中一个变成$0$

$gcd(a'f_n+b'f_{n+1},c'f_n)$

$G=gcd(b'f_{n+1},f_{n})=g_n\times gcd(b',\frac{f_n}{g_n})$

$G\times gcd(\frac{a'f_n+b'f_{{n+1}}}{G},c')=G\times \gcd(\frac{a'\frac{f_n}{g_n}+b'\frac{f_{n+1}}{g_n} \mod (\frac{G}{g_n}c')}{\frac{G}{g_n}},c)$

对取模意义下的$gcd$还是有点疑问