常用公式

公式总结

范德蒙德卷积

$$
\binom{n+m}{k}=\sum_{i=0}^k\binom{n}{i}\binom{m}{k-i}
$$

 

trick:

$$
n\binom {n+m-1}{n}=m\binom{n+m-1}{m}=n\binom{n+m-1}{m-1}=m\binom{n+m-1}{n-1}
$$

 

二项式有关:

$$
F[n]=\sum_{i=1}^{n}(-1)^iC(n,i)G[i] \\ G[n]=\sum_{i=1}^{n}(-1)^iC(n,i)F[i] \\ \\ F[n]=\sum_{i=1}^nC(n,i)G[i] \\ G[n]=\sum_{i=1}^{n}(-1)^{n-i}F[i] \\ \\ F[n]=\sum_{i=m}C(i,n)G[i] \\ G[i]=\sum_{i=m}(-1)^{i-n}C(i,n)F[i] \\ \\ F[n]=\sum_{i=n}(-1)^iC(i,n)G[i] \\ G[n]=\sum_{i=n}(-1)^{i}C(i,n)F[i] \\ \\ \sum_{i=0}^nC(n,i)x^i=(x+1)^n
$$

 

 

Min-Max反演

我们现在有全集U={a_1,a_2,a_3...,a_n}

我们设Min(S)=\min_{i=1}^na_i

我们设Max(S)=\max_{i=1}^na_i

$$
Max(S)=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|+1}Min(T) \\ E(Max(S))=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|+1}E(Min(T))
$$

 

 

E表示期望

$$
KthMax(S)=\sum_{T\subseteq S}F(|T|)Min(T)
$$

 

 

构造F(T)

设一个元素x的排名为第p大,只有不包含比他小的n-p+1个元素时,Min(T)=x

$$
F(p)=(-1)^{p-k}C(p-1,k-1)
$$

 

持续更新...

$$
k^p(^n_k)=\sum_{i=1}^{p}S(p,i)*n^{\underline i}(^{n-i}_{k-i}) \\ S(1,1)=1 \\ S(i,j)=S(i-1,j-1)+j*S(i-1,j) \\ k\times(^n_k)=n\times(^{n-1}_{k-1})
$$