常系数齐次线性递推

常系数线性齐次递推

给出递推方程$F(x)=\sum_{i=1}^{k} a_iF(x-i)$

这个当$k$很小的时候,可以使用$O(k^3\times log(n))$的时间复杂度内解决

万一$k$比较大怎么办,我们需要优化一下

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特征多项式及$Cayley-Hamilton$定理

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特征多项式的定义$:$

设$A$是$n$阶矩阵,若数$\lambda$和非零列向量$x$使关系式

$Ax=\lambda x\ \ \ (1)$

 成立

那么$\lambda$称为矩阵$A$的特征值,非零向量$x$称为$A$对于$\lambda$的特征向量

$(A-\lambda E)x=0\ \ \ \ (2)$

此式有解的充分必要条件是其行列式$|A-\lambda E|=0$

$(1)$可以看成是特征方程

$(2)$可以看成是特征多项式

矩阵的多项式

不等于矩阵多项式

以下是一个关于$A$的多项式

$f(A)=a_0E+a_1A+a_2A^2+...$

$f(A)g(A)=g(A)f(A)$

多项式相乘满足交换律

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$Cayley-Hamilton$定理

关于$A$的特征多项式$\phi(\lambda)=det(\lambda E-A)$

有$\phi(A)=0$

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$n$阶常系数齐次线性递推矩阵的特征多项式求法

我们已经有了递推矩阵,然后求他的特征多项式

结论$:$

$\phi(\lambda)=(-1)^n(\lambda^n-\sum_{i=1}^na_i\lambda^{n-i})$

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常系数齐次线性递推

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引入多项式

设$x^n=f(x)g(x)+h(x)$

在已知$g(x)$的情况下,我们可以通过计算得到$f(x),h(x)$

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带入矩阵

我们将$A$视为未知量

得到

$A^n=f(A)g(A)+h(A)$

那么$g(A)=\phi(A)=0$那么

$A^n=h(A)=\sum_{i=0}^{k-1}h_iA^i$

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如何计算

我们设$1\times k$的矩阵

$B_i^T={F(i+k-1),F(i+k-2),...,F(i)}$

左右同乘$B_1$

$A^nB_1=h(A)B_1$

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我找到一种很妙的思路

考虑斐波那契矩阵的多项式

我们要求$x^5$怎么来的,无非是一次一次对转移矩阵的多项式取模得到最后

那么我们现在求$F(i)=p_1f_{i-1}+p_2f_{i-2}+...$

要求$f(n)$,只需要求$x^n$对转移的特征多项式取模就好了,很妙