[SCOI2010]生成字符串

首先，在忽略在任意的前k个字符中，1的个数不能少于0的个数时，总方案数是$$C(n + m, m)$$
但考虑题目要求，可以对此做一个转化：若将加入\(1\)看作加入向量\((1, 1)\)， 加入\(0\)看作加入向量\((1, -1)\)，能够得到以下图形。

至此，问题转化为从\((0, 0)\)出发，不经过\(y = -1\)且最后到达\((n + m, n - m)\)的方案数。
若将\(y = -1\)当成对称轴，将非法情况翻转，可以发现其起点皆为\((0, -2)\)，即非法方案数为：从\((0, -2)\)出发，最后到达\((n + m, n - m)\)的方案数。
由于翻转段的\(m = n + 1\)，所以翻转后\(m - 1\)。
所以非法方案数为：$$C(n + m, m - 1)$$
答案为：$$C(n + m, m) - C(n + m, m - 1)$$