「洛谷P1445」[Violet]樱花

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分析：

推式子

\[\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{n!} \]

先通分

\[\frac{x+y}{xy}=\frac{1}{n!} \]

交叉相乘

\[xy=n!(x+y) \]

移项

\[-n!(x+y)+xy=0 \]

两边加上\((n!)^2\)

\[(n!)^2-n!(x+y)+xy=(n!)^2 \]

因为方便十字相乘法 因式分解

\[(n!-x)(n!-y)=(n!)^2 \]

令\(a=(n!-x)\) \(b=(n!-y)\)
因为 \((n!)^2\) 已确定 那只要确定 \(a\) 就能确定 \(b\) 也就能确定 \(x\) 和 \(y\)
\(a\) 是 \((n!)^2\) 的因子 那 \(a\) 的方案数 就是 \((n!)^2\) 因子的方案数
然后唯一分解定理：

\[n!=p_1^{c_1}+p_2^{c_2}+p_3^{c_3}+...+p_m^{c_m} \]

\[(n!)^2=p_1^{c_1\times2}+p_2^{c_2\times2}+p_3^{c_3\times2}+...+p_m^{c_m\times2} \]

每个质因子 \(p_i\) 都有 \(2\times c_i+1\) 种取值

\[ans=(c_1\times2+1)\times(c_2\times2+1)\times(c_3\times2+1)\times...\times(c_m\times2+1) \]

最后线性筛出质数 然后把指数 \(c_i\) 累计完求\(ans\)

CODE：

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#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e6+5,mod=1e9+7;
ll n,cnt,ans=1,num[N],prime[N],c[N];
int main()
{
	scanf("%lld",&n);
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		if(!num[i]){
			num[i]=i;
			prime[++cnt]=i;
		}
		for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=n;j++)
		{
			num[i*prime[j]]=prime[j];
			if(i%prime[j]==0) break;
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=i;j!=1;j/=num[j])
			c[num[j]]++;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		ans=ans*(c[i]<<1|1)%mod;
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}