二分答案 跳石头 笔记

STL的函数 lower_bound 与 upper_bound

意义:不用手写二分查找

lower_bound 找出序列中第一个大于等于x的数

upper_bound 找出序列中第一个大于x的数

写法 ：lower_bound（a+1，a+n+1，x）

或 lower_bound（a+1，a+n+1，x，cmp）

前提 a为升序序列

若为降序

则写做 lower_bound（a+1，a+n+1，x，greater<int>（））

重点例题：跳石头

题目背景

一年一度的“跳石头”比赛又要开始了!

题目描述

这项比赛将在一条笔直的河道中进行，河道中分布着一些巨大岩石。组委会已经选择好了两块岩石作为比赛起点和终点。在起点和终点之间，有 NNN 块岩石（不含起点和终点的岩石）。在比赛过程中，选手们将从起点出发，每一步跳向相邻的岩石，直至到达终点。

为了提高比赛难度，组委会计划移走一些岩石，使得选手们在比赛过程中的最短跳跃距离尽可能长。由于预算限制，组委会至多从起点和终点之间移走 MMM 块岩石（不能移走起点和终点的岩石）。

输入格式

第一行包含三个整数 L,N,ML,N,ML,N,M，分别表示起点到终点的距离，起点和终点之间的岩石数，以及组委会至多移走的岩石数。保证 L≥1L \geq 1L≥1 且 N≥M≥0N \geq M \geq 0N≥M≥0。

接下来 NNN 行，每行一个整数，第 iii 行的整数 Di(0<Di<L)D_i( 0 < D_i < L)Di​(0<Di​<L)， 表示第 iii 块岩石与起点的距离。这些岩石按与起点距离从小到大的顺序给出，且不会有两个岩石出现在同一个位置。

输出格式

一个整数，即最短跳跃距离的最大值。

输入输出样例

输入 #1

25 5 2 
2
11
14
17 
21

输出 #1

4

说明/提示

输入输出样例 1 说明：将与起点距离为 222和 141414 的两个岩石移走后,最短的跳跃距离为 444(从与起点距离 171717 的岩石跳到距离 212121 的岩石,或者从距离 212121 的岩石跳到终点)。

另：对于 20%20\%20%的数据,0≤M≤N≤100 ≤ M ≤ N ≤ 100≤M≤N≤10。

对于50%50\%50%的数据,0≤M≤N≤1000 ≤ M ≤ N ≤ 1000≤M≤N≤100。

对于 100%100\%100%的数据,0≤M≤N≤50,000,1≤L≤1,000,000,0000 ≤ M ≤ N ≤ 50,000,1 ≤ L ≤ 1,000,000,0000≤M≤N≤50,000,1≤L≤1,000,000,000。

 

1.对于一个可能的"最大的"最短跳跃距离 可能只是一个可行解, 而不是最优解；

在一个区间上可能有很多个可行解, 这些解都满足要求, 但不一定是最优的, 我们要考虑所有的可行解, 并从中找到一个最优解作为我们的答案.

2.对于这一题, 若x为可行解, 那么[1, x) 上的数一定可行, 但一定不是最优, 故最优解一定在[x, L] (注:L为总长度)这个区间上. 如果x不可行, 那么[x, L]上的解一定都不可行   (√ )   

非常重要

3.用二分最短的跳跃距离，把这个距离"认为"是最短的跳跃距离, 以这个标准去去掉石头,

先不必考虑移走石头数的限制, 待全部拿完后, 再与最大移动数目M进行比较,

若超过了, 那么就说明在最多移走M块石头的限制条件下不能达到这个最短跳跃距离, 这就是一个不可行解, 反之就是一个可行解。

4.模拟

模拟这个跳石头的过程。

开始你在 i (i = 0) 位置，我在跳下一步的时候去判断我这个当前跳跃的距离，如果这个跳跃距离比二分出来的mid小，那这就是一个不合法的石头，应该移走。

理由 ：我们二分的是最短跳跃距离，已经是最短了，如果跳跃距离比最短更短则显然不合法；

移走后，计数器++，再考虑继续向前跳。

去看移走之后的下一块石头，再次判断跳过去的距离，如果这次的跳跃距离比最短的长，则这样跳合法，我们就跳过去，继续判断，

如果跳过去的距离不合法就再拿走；

这样不断进行这个操作，直到i = n+1

理由 ：河中间有n块石头，则终点在n+1处。（这里千万要注意不要把n认为是终点，实际上从n还要跳一步才能到终点）。

模拟完这个过程，我们查看计数器的值，这个值代表的含义是我们以mid作为答案需要移走的石头数量；

然后判断这个数量 是不是超了就行。如果超了就返回false，不超就返回true；

CODE：

核心函数 judge

bool judge(int x){
    int tot = 0;//需要移动的总数
    int i = 0;
    int now = 0;//当前所在的石头
    
    while(i < n + 1){
        i++;
        //如果当前石头与下一块石头之间的距离比我们设定的最短距离要小 则移走当前石头
        //tot++代表需要移动的加一，i++代表接下来判断移动的石头后面的一块与当前'now'这块石头的距离
        if (a[i] - a[now] < x){
            //那么就将这块石头拿走
            tot++; 
        } 
        else {
            //如果满足的话
            now = i; 
        }
    } 
    if(tot > m) {
        return false;
    }
    else{
        //否则
        return true; 
    }
}

完整AC代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 500010
using namespace std;

int l,r,n,m,ans,mid,d;
int a[maxn];

bool judge(int x){
    int tot = 0;//需要移动的总数
    int i = 0;
    int now = 0;//当前所在的石头
    
    while(i < n + 1){
        i++;
        //如果当前石头与下一块石头之间的距离比我们设定的最短距离要小 则移走当前石头
        //tot++代表需要移动的加一，i++代表接下来判断移动的石头后面的一块与当前'now 这块石头的距离
        if (a[i] - a[now] < x){
            //那么就将这块石头拿走
            tot++; 
        } 
        else {
            //如果满足的话
            now = i; 
        }
    } 
    if(tot > m) {
        return false;
    }
    else{
        //否则
        return true; 
    }
}

int main(){
    cin>>d>>n>>m;
    
    for(int i = 1;i<=n;i++){
        cin>>a[i];
    }
    
    a[n + 1] = d;
    
    l = 1,r = d;
    while (l <= r){
        //二分枚举
        mid = (l + r) / 2;
        if (judge(mid)) {
            //mid是可行解的情况
            ans = mid;
            l = mid + 1; 
        } 
        //mid不是可行解的情况
        else r = mid - 1; 
    }
    cout<< ans <<endl;
    return 0;
}

完结；

 

 

参考博客：
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https://blog.csdn.net/weixin_44179892/article/details/10419701

 

感谢！！