奇数与偶数的指数生成函数

首先我们可以写出奇数和偶数的EGF:

\[ODD(x)=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+...\]

\[EVEN(x)=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+...\]

所以有:

\[ODD(x)+EVEN(x)=\sum_{i=0}^{+\infty}\frac{x^i}{i!}=e^x\]

\[ODD(x)-EVEN(x)=-\sum_{i=0}^{+\infty}\frac{(-x)^i}{i!}=-e^{-x}\]

可以解出:

\[ODD(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}\]

\[EVEN(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}\]

posted on 2019-05-17 15:59 ErkkiErkko 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏

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