奇数与偶数的指数生成函数

首先我们可以写出奇数和偶数的EGF：

\[ODD(x)=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+... \]

\[EVEN(x)=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+... \]

所以有：

\[ODD(x)+EVEN(x)=\sum_{i=0}^{+\infty}\frac{x^i}{i!}=e^x \]

\[ODD(x)-EVEN(x)=-\sum_{i=0}^{+\infty}\frac{(-x)^i}{i!}=-e^{-x} \]

可以解出：

\[ODD(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2} \]

\[EVEN(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2} \]