数学内容。

广义二项式定理

\[(1+x)^k=\sum_{i\ge 0} \dbinom{k}{i}x^i \]

其中广义组合数 \(\dbinom{n}{m}\) 中，\(n\) 的定义域为全体数集，\(m\) 的定义域为非负整数，其展开式为

\[\dbinom{n}{m}=\dfrac{1}{m!}\prod_{i=0}^{m-1} (n-i) \]

使用例：

由卡特兰数 OGF 反推通项：\(F(x)=\dfrac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}\)：则

\[\begin{aligned} \left[x^n\right] F(x)&=\dfrac12[x^{n+1}](1-\sqrt{1-4x}) \\ &=-\dfrac12[x^{n+1}]\sum_{i\ge 0} \dbinom{\frac12}{i}(-4x)^i \\ &=-\dfrac12\dbinom{\frac12}{n+1}(-4)^{n+1} \\ &=-\dfrac{1}{2(n+1)!}\prod_{j=0}^{n}\left(\dfrac12-j\right) (-4)^{n+1} \\ &=\dfrac{1}{2(n+1)!} 2^{n+1}\prod_{j=1}^{n}\left(2j-1\right)! \\ &=\dfrac{1}{2(n+1)!} 2^{n+1} \dfrac{(2n)!}{2^n n!}\\ &=\dfrac{(2n)!}{(n+1)!n!}\\ \end{aligned} \]

Taylor 展开

\[F(x)=\sum_{i\ge 0}\dfrac{F^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0)^i \]

其中 \(x_0\) 表示从哪里展开。当 \(i\le n_0\) 时，可感性理解为在 \(x_0\) 处以 \(n_0\) 次多项式函数拟合，具体方式是求 \(i\) 阶导。

Stirling 数

第二类 Stirling 数\(\newcommand{\stir}[2]{\begin{Bmatrix}#1\\#2\end{Bmatrix}}\)

组合定义：将 \(n\) 个不同物品放入 \(k\) 个不区分的盒子的方案数。记作 \(\stir{n}{k}\)。

有递推公式：

\[\stir nk=\stir {n-1}{k-1}+k\stir{n-1}k \]

证明：考虑组合意义，第 \(n\) 个物品要么单独放在一个盒子，要么放到一个已经有的盒子里。

考虑推通项，我们做一个容斥，不妨令 \(n\) 是常量，设 \(f_i\) 是 \(n\) 个物品放到 \(i\) 个互相区分的盒子，每个盒子非空里的方案数，\(g_i\) 则不要求非空。显然，

\[g_i=i^n \]

\[f_i=\stir ni i! \]

\[g_i=\sum_{j=0}^i \dbinom{i}{j}f_j \]

根据二项式反演，有

\[f_i=\sum_{j=0}^i (-1)^{i-j} \dbinom ij g_j=\sum_{j=0}^i \dfrac{(-1)^{i-j} i! j^n}{j!(i-j)!} \]

所以

\[\stir ni = \sum_{j=0}^i \dfrac{(-1)^{i-j} j^n}{j!(i-j)!} \]

于是求第二类 Stirling 数的一行，可以卷积 \(\Theta(n\log n)\) 计算。

求一列的不在考纲里不学了。

CF961G

入门好题。

显然答案为

\[\left(\sum_{i=1}^n w_i\right)\cdot \left(\sum_{i=1}^n\dbinom{n-1}{i-1}\stir{n-i}{k-1}i\right) \]

我们只需要推后面那个式子、

\[\begin{aligned} &\sum_{i=1}^n\dbinom{n-1}{i-1}\stir{n-i}{k-1}i \\ =&\sum_{i=1}^n\dbinom{n-1}{i-1}i\sum_{j=0}^{k-1}\dfrac{(-1)^{k-1-j}j^{n-i}}{j!(k-1-j)!} \\ =&\sum_{j=0}^{k-1}\dfrac{(-1)^{k-1-j}j^n}{j!(k-1-j)!}\sum_{i=1}^n\dbinom{n-1}{i-1}ij^{-i} \\ =& \sum_{j=0}^{k-1} \dfrac{(-1)^{k-1-j}j^n}{j!(k-1-j)!} \sum_{i=0}^{n-1}\dbinom{n-1}{i}(i+1)j^{-i-1} \\ =& \sum_{j=0}^{k-1} \dfrac{(-1)^{k-1-j}j^{n-1}}{j!(k-1-j)!} \sum_{i=0}^{n-1}\dbinom{n-1}{i}(i+1)j^{-i} \\ \end{aligned} \]

把后半部分单独拿出来，拆成两部分：

\[\sum_{i=0}^{n-1}\dbinom{n-1}{i}j^{-i} =(1+j^{-1})^{n-1} \]

\[\begin{aligned} &\sum_{i=0}^{n-1}\dbinom{n-1}{i}j^{-i} i \\ =&(n-1)\sum_{i=0}^{n-1}\dbinom{n-2}{i-1}j^{-i} \\ =&(n-1)\sum_{i=0}^{n-2}\dbinom{n-2}{i}j^{-i-1} \\ =&(n-1)j^{-1}(1+j^{-1})^{n-2} \\ \end{aligned} \]

所以两部分的和为：

\[(1+j^{-1})^{n-2}(1+nj^{-1}) \]

代回去，有

\[ \sum_{j=0}^{k-1} \dfrac{(-1)^{k-1-j}}{j!(k-1-j)!}(j+1)^{n-2}(j+n) \]

计算即可。