折半警报器/二进制警报器

引入这么一道题：

维护数列，支持单点加；并且某些时刻给出 \(k\) 个位置，在这 \(k\) 个位置之和 \(\ge lim_i\) 的时候输出操作编号并删除。

折半警报器

考虑这样一件事：一个报警器报警的必要条件是 \(\max\{a_{p_i}\}\ge \left\lceil\dfrac{lim}{k}\right\rceil\)。

于是我们往每个 \(p_i\) 里面扔一个 \(\left\lceil\dfrac{lim}{k}\right\rceil\) 的报警器。

每次单点加如果使某个报警器达到了阈值，暴力 check 其所在报警器；如果成功报警，输出并删除；否则考虑设这个报警器剩下 \(w\) 的阈值，显然 \(w\le lim-\left\lceil\dfrac{lim}{k}\right\rceil\)，把对应位置里的报警器阈值加上 \(\left\lceil\dfrac{w}{k}\right\rceil\) 即可。

那么，每个报警器最多被重构 \(\log_{\frac{k}{k-1}}lim=\dfrac{\ln lim}{\ln k-\ln(k-1)}=\Theta(\log V)\) 次。使用数据结构维护即可，复杂度做到 \(\Theta(nk\log V(\log n+k))\)。

THUPC 2021 鬼街 Code

二进制警报器

尝试用二的幂次描述或修改一下减半报警器。对于一个报警器，我们维护一个 \(h\)，当每个监控元素“经过” \(2^h\) 的倍数时报警，如果所有元素都能不报警达到 \(lim\) 那么就将 \(h\gets h-1\)。

复杂度分析懒得放了。跑的比折半快 \(10\) 倍。