[离散数学]运算满足结合律等价于运算满足n元结合律

0.摘要

题中的三元结合律即指运算符合结合律，而所谓的“\(n\)元结合律”指\(n\)个元素做二元运算，形如\(a_1\oplus a_2\oplus\cdots\oplus a_n\)中，可以随意合法地加括号而保持值不变（合法指括号能正确匹配）。

本文使用强数学归纳法和递降法(类似无穷递降法，但不是用反证的思路)对此进行证明，即满足结合律的二元运算就会满足\(n\)元结合律。

1.运算、结合律

笔者不清楚离散数学哪里定义过运算，好像线性代数里又有定义过线性运算之类的尔尔，故在这里先基于离散数学的关系定义一下运算。

1.1 .运算

我们知道，运算往往是这样的形式，\(a\otimes b=c\)。而事实上，我们也有多元的运算，例如一元运算阶乘、三元运算混合积等等。因此，我们可以将运算定义为一个多元函数，函数用关系定义，因而全都归结到集合上。

我们跳过一些基本内容，例如集合、（二元）关系。

\(A_i\)是\(n\)个集合，\(A:=A_1\times A_2\times\cdots\times A_n\)和集合\(B\)构成集合\(A\times B\), 关系\(R\subseteq A\times B\). 如果\(\forall a\in A\exists!b\in B(aRb)\)，则称关系\(R\)为\(A\rightarrow B\)的\(n\)元函数，常将\(R\)写为\(f\)。

在如上的定义下，二元运算定义为\(A_1\times A_2\rightarrow B\)​上的函数。而对于运算，我们一般都会取良好的集合，并且有\(A_1=A_2=:A\).

1.2.结合律

这个大家都熟，我们称运算\(\oplus\)满足结合律，如果\((a\oplus b)\oplus c=a\oplus (b\oplus c)\)。结合律的前提是这个运算在某个集合上具有封闭性，即任意的\(a,b\in A\)有\(a\oplus b\in A\)。例如向量的内积就不满足结合律的前提，因为其将向量映射到了实数上，不满足封闭性。

此外，二元运算往往会规定左结合或右结合。左结合的意思是说，不加括号下写出的\(a\oplus b\oplus c\)会被默认理解为\((a\oplus b)\oplus c\)，而右结合则是上式会被理解为\(a\oplus (b\oplus c)\)。这是一种约定、定义，而非性质。左结合的运算是很多的，例如加减乘除，而右结合的较少，例如幂运算和编程语言中的赋值运算\(a=b=c\)​。不难看出，符合结合律的运算，都满足左结合和右结合；而不满足结合律的，例如减法，就只能满足左结合，不满足右结合。

2.加括号

我们先做一些定义：

Definition 2.1 我们称一种对运算式\(a_1\oplus a_2\oplus\cdots\oplus a_n\)的加括号方式是合法的，当括号可以对应正常匹配。即从左往右从0开始计数，碰到左括号加一，碰到右括号减一，任何一个过程的计数值为正数，且计数结束后，计数值为0。
我们约定本文遇到的加括号方式全是合法的。

Definition 2.2 我们称一种加括号方式是完全的，当这个运算式可以不依赖结合顺序地计算，也即无论规定是左结合还是右结合，其运算顺序相同（或者更形式化的，其二叉运算树相同）。反之，如果存在部分运算式依赖于结合顺序，那么则称这种加括号方式是不完全的。对于一般的情形，可能完全可能不完全，我们称为随意(合法)的加括号方式。

我们有如下引理

Lemma 2.1 任意不完全的加括号方式，在约定结合顺序（左结合或右结合）之后，能够归结为唯一的一个完全的加括号方式。（显然，不证）

并且我们约定，两个加括号方式是相同的 ，如果其运算顺序相同。即\(a*b*c\)和\((a*b)*c\)加括号方式一样。在这样的约定下我们有如下引理：

Lemma 2.2 \(n\)元\(\oplus\)运算式，即\(a_1\oplus a_2\oplus\cdots\oplus a_n\)，在其中随意合法地加括号，共有\((n-1)!\)种方式。

**Proof 2.2 ** 由于任意的加括号方式已规定了运算顺序，那么可以将过程统一为按这个运算顺序加括号，直到无法加括号。而加一次括号，相当于把括号中的两个元素视为一个整体，也即每次加括号，内部只有两个元素，且总体元素个数减一。因此，第一次加括号有\(n-1\)种方式，整体元素个数变为\(n-1\)个，类似的，一直加括号，直到整体元素为2个，此时不需要再加括号（再加括号要么不合法，要么不改变运算顺序），总方法数为\((n-1)!\)​。

顺便一提，上述的“整体元素个数”其实是模糊的，精确定义可以定义为需要依赖左结合或右结合的次数加上2。事实上，如果引入二叉运算树，一些论证会更严谨，但是我不想作图，故对加括号方式进行定义。

引理2.2是错误的，可以穷举二叉运算树，\(n=4\)的情况为5种，并非\((4-1)!=6\)种。引理2.2是加括号顺序不同则不同的情况，但\((ab)(cd)\)的两个括号在不同的加入顺序下，最终应该是一样的。这个计数可以归结到 二叉运算树有多少种形态 这个问题上，而且这个问题不影响下方的证明，咕了。

3.证明

我们有目标命题\(p_n(n\ge3)\)：若有二元运算\(\oplus\)满足结合律，则\(n\)元\(\oplus\)运算式\(a_1\oplus a_2\oplus\cdots\oplus a_n\)中，可以合法完全地加括号而保持值不变。若规定了结合顺序，则其可以随意合法加括号而保持值不变。

由上述引理，可以知道\(n=3\)的情形只有2种，其被结合律本身包含，即\((a\oplus b)\oplus c=a\oplus (b\oplus c)\)，因此即有\(p_3\)成立。之后，假定\(p_k,k=3,4,\cdots,n\)成立，我们需要证明\(p_{n+1}\)。

对于\(n+1\)的情形，有\(a_1\oplus a_2\oplus\cdots\oplus a_n\oplus a_{n+1}\)，当加括号完全时，整体元素为2或1，对于后者不妨去除最外层括号，归结为2的情况，即两个运算式做运算\(r_p\oplus r_q\)，其中\(p,q\)表示运算式中元素个数，\(p+q=n+1\)。我们分类讨论\(r_q\)只包含\(a_{n+1}\)和不只包含\(a_{n+1}\)​​的情形。

对于情形一：由\(p_n\)即可得到，这种情形下的任何值都等于左结合的运算顺序下得到的值。（不是指运算满足左结合，只是拿这个运算顺序作为值的基准）

对于情形二：我们期望能将这种情况转化为情况一，将\(r_q\)里也按运算顺序写为整体元素为2的运算式，即\(r_p\oplus (r_{q1}\oplus r_{q2})\)，由\(p_3\)有\(r_p\oplus (r_{q1}\oplus r_{q2})=(r_p\oplus r_{q1})\oplus r_{q2}\)，这就完成了一次去括号，将\(r_p\oplus r_{q1}\)合并，回到了最开始的情形，即\(r_{p+q1}\oplus r_{q2}\)这样两个运算式的讨论。

如上递归式地用结合律做变换，只要我们可以证明这样的步骤是有限的，即可证明结论，而这是简单的。因为，\(q_1\ge1,q_1+q_2=q\)，有\(q_2=q-q_1\le q-1\)。每次做变换，都能使得变换后的右边的运算式，内部元素减一(如果换一个良好的记号，就是\(q_{i+1}\le q_i-1\)，而\(q\)是有限的，总会减少到1，也即情形一，即有任何情形二的加括号方式，其运算值与情形一相同，结论得证。

Update

如果考虑二叉运算树，那么结合律等价于类似AVL搜索树中的左旋或右旋。换言之，序关系在搜索树的旋转变换和结合律是类似的。