随笔分类 - 图论
摘要：粉兔的博客 1 圆方树的定义与性质 圆方树最初是在仙人掌中使用的，后来逐渐被应用到一般图中，用来处理点双联通分量等问题。 一个点双连通图满足的性质有： 图中任意两个点都存在至少两条不重复的路径（处理起点和终点），或者说任意去掉其中一个点不能时整张图变成两个不连通的子图，即不存在割点。 在一个点双联通
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摘要：[ARC098F] Donation 给出一个 $N$ 个点 $M$ 条边的无向连通图，每个点的标号为 $1$ 到 $n$， 且有两个权值 $A_i,B_i$。第 $i$ 条边连接了点 $u_i$ 和 $v_i$。 最开始时你拥有一定数量的钱，并且可以选择这张图上的任意一个点作为起始点，之后你从这个
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摘要：定义与建立 Prufer 序列可以将一个带标号 $n$ 个结点的树用 $[1,n]$ 中的 $n-2$ 个整数表示。一个无向带标号生成树与数列之间的双射。 对于一棵树，每次我们选择它编号最小的叶子结点，删除它并记录下与它相连的节点的编号，那么最终记录下的 $n-2$ 个数就组成了这棵树的 Prufe
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摘要：前置知识：矩阵、高斯消元 行列式 行列式 定义 $$ \text{det(A)}=\sum_{p}{(-1)^{\mathrm{sgn}(p)}\prod{A_{i,p_i}}} $$ 其中 $\text{sgn}(p)$ 表示排列 $p$ 的逆序对个数。 行列式 性质 进行一次矩阵转职，行列式不变
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摘要：（几万年前的博客了，刚从洛谷搬过来） 主要内容 差分约束系统 是一种特殊的 \(n\) 元一次不等式组 。 差分约束系统中的每个约束条件 \(x_i-x_j\le c_k\) 都可以变形成 \(x_i\le x_j+c_k\) 与 \(x_j\ge x_i-c_k\) ，这与单源最短路中的三角形不等
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摘要：dsu on tree学习笔记 （\(\uparrow\) 学习参考） 一般来说，Dsu on tree 大多可以和 点分治 互相换着用，都是处理子树或以 \(x\) 为根的路径等问题。 这种问题假设好状态基本上可以秒了。 （当然有时候还可以和 长链剖分 互换） 算法结构与模板 首先类似重链剖分的预
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摘要：强联通分量 强连通：有向图 $G$ 强连通表示，$G$ 中任意两个结点连通。 强连通分量（ Strongly Connected Components ，简称 $\operatorname{SCC}$ ）：极大的 强连通子图。 Tarjan 维护了以下两个变量： $\texttt{dfn}$：深度优
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摘要：大致内容 oi-wiki上对虚树的介绍 如果一棵树有若干个询问，每次询问 $k$ 个点，$k$ 很小但 $n$ 比较大时，真正需要处理的点很少。 在这种情况下，虚树就派上用场了。我们可以只处理那些关键点，而忽略其他点，方便处理 $\sum k$ 与 $n$ 同阶的情况。 那么哪些点才是需要的呢？发现
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摘要：无向图三元环计数 从度数小的点向度数大的点连边，若度数相同则将编号小的向编号大的连边。 可以证明复杂度是 \(O(m\sqrt{m})\) 。 有向图三元环计数 将所有边看成无相，按照有向图的方式找出所有三元环，再进行检查是否在原图上也构成三元环。 竞赛图三元环计数 \(\dbinom{n}{3}-
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摘要：P1268 树的重量 $\texttt{solution}$ 算法：（贪心）\(+\) 找规律 当 \(n=2\) 时，显然答案就是 \(dis(1,2)\) 。 当 \(n=3\) 时，答案： \(\dfrac{dis(1,3)+dis(2,3)-dis(1,2)}{2}\) 当 \(n\) 是任
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摘要：这是第一部分：二分图 第二部分：图的匹配—网络流 xht37 二分图与网络流 学习笔记 ix35 的 NOI 一轮复习 I：二分图网络流 Froggy 的 二分图 & 网络流 杂谈 （\(\uparrow\) 学习资料） 定义与判定 如果一张无向图可以被划分为左部点和右部点，那么这是一张二分图 定理
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摘要：luogu 1477 [NOI2008] 假面舞会 容易发现： 如果图中没有环，那么面具种数一定是所有联通块内最长链之和，最少为 \(3\) 。 如果有环，则面具种数一定是所有环的大小的最大公约数。 那么只要求出每一个联通块内的最长链与环即可。 由于是有向边，难以通过有向边判断联通块，因此考虑建立一
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摘要：单源最短路 SPFA $\bigstar\texttt{important}$：加入队列的时候一定要打上已经入队标记，不然可能在同一个循环内重复入队！ 队列优化 Bellman-Ford 算法 。 关于 SPFA ，他死了 。 时间复杂度 $O(nm)$ （容易被卡，不太稳定） 如何判断负环： 用
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摘要：非常好的博客：panyf 的 2-sat 学习笔记。 定义及实现 2-sat，简单的说就是给出 $n$ 个集合，每个集合有两个元素，已知若干个 $<a,b>$ ，表示 $a$ 与 $b$ 矛盾（其中 $a$ 与 $b$ 属于不同的集合）。然后从每个集合选择一个元素，判断能否一共选 $n$ 个两两不矛
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摘要：最小、次小生成树 如何生成最小、次小生成树？ Kruskal 就是暴力地将所有边排序，从小到大查看是否可以将两个连通块联通，复杂度为 $\mathcal{O((n+m)\log n)}$（如果用斐波那契对可以降到 $\mathcal{O(n\log n+m)}$）。 Prim？咕咕咕 Boruvka
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摘要：1 欧拉图 OI-Wiki 1.1 欧拉图定义 通过图中所有边恰好一次且行遍所有顶点的 通路 称为欧拉通路。 通过图中所有边恰好一次且行遍所有顶点的 回路 称为欧拉回路。 具有欧拉回路 的无向图或有向图称为 欧拉图 。 具有欧拉通路但不具有欧拉回路 的无向图或有向图称为 半欧拉图 。 非形式化地讲，
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摘要：第一部分：图的匹配—二分图 这是第二部分：网络流 网络流 \(24\) 题题解 网络流基础建模 费用流基础建模 （\(\uparrow\) 学习资料） 最大流求解 P3376 【模板】网络最大流 P4722 【模板】最大流 加强版 / 预流推进 EK 算法 复杂度：\(O(nm^2)\)，所以，关于
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