浅谈定积分

定积分定义及运算

\(Definition:\)
设 \(f(x)\) 为在区间 \([a,b]\) 上的连续函数.在区间 \([a,b]\) 上任取 \(m+1\) 个点 \(x_0,x_1,x_2,...,x_m\)使得

\[a = x_0 < x_1 < x_2 < x_ 3 < ... < x_{k-1} < x_{k} < ... < x_{m-1} < x_m = b \]

设上述点集为 \(A\) ,则 \(A\) 将区间 \([a,b]\) 任意分割分割为 \(m\) 个子区间 \([x_{k-1} , x_k](k \in [1,m])\).显然,上述点集把整个区间划分成了 \(m\) 段.所以我们把上述点集记为分割\(\Delta\).
当 \(\Delta\) 一定时,对于任意的 \(k\) ,任取一点 \(\xi\) 使得 $ x_{k-1} \le \xi \le x_k $.
并设 \(S_k=\sum_{i=1}^{m}{f(\xi) \cdot ( x_i - x_{i-1})}\)
易知: \(S_k\) 的几何意义为以分割 \(\Delta\) 确定的各个微分区间与其两端点与 \(x\) 的垂线及对应函数图像围成的图形面积.(可能表述不太清楚,其实就是图像围成的曲边梯形的面积)
定义一:
若\(f(x)\)在\([a,b]\)上的极限存在,则可对 \(S_k\) 取极限,即为:

\[S_k=\lim_{m\to+\infty}{\sum_{i=1}^{m}}{f(\xi) \cdot (x_i - x_{i-1} ) } \]

此时,称 \(S_k\) 为 \(f(x)\) 在区间 \([a,b]\) 上的定积分.记为:

\[\int_a^b f(x) dx = \lim_{m\to+\infty}{\sum_{i=1}^{m}}{f(\xi) \cdot (x_i - x_{i-1} ) } \]

其中, \(f(x)\) 叫做该定积分的被积函数,该定积分\(\int_a^b f(x) dx\) 就叫做函数 \(f(x)\) 关于 \(x\) 从 \(a\) 到 \(b\) 的积分. \(a,b\) 分别叫做该定积分的积分下限和积分上限. \(x\) 成为该定积分的积分变量.

Eg.1

设 \(f(x)=x^2\),求 \(\int_0^1 f(x) dx\).
解:在区间 \([0,1]\) 上任取 \(n\) 个点记为: \(x_0 , x_1 , ... , x_{n-1} , x_n\)
使得 $ 0=x_0 < x_1 < x_2 < ... < x_{n-1} < x_n = 1$ 且对于 $\forall i , x_i - x_{i-1} $为定值. \((1.1)\)
把上述分割记为 \(\Delta\) 则对于其中的任意区间 \([x_{k-1},x_k]\),取一点 \(\xi\) 来近似地代替该区间上的函数值.(当\(n\to+\infty\)时,区间可认为是一个点.)
不妨设\(\xi=x_i\),所以有:

\[\int_0^1 f(x) dx = \lim_{n\to+\infty} {\sum_{i=1}^n {f(x_i)\cdot (x_i - x_{i-1})} } \: \: (1) \]

因为条件 \((1.1)\) 所以 \(x_i - x_{i-1} = \cfrac{b-a}{n} = \cfrac{1}{n}\)
所以 \((1)\) 改写为:

\[\int_0^1 f(x) dx = \lim_{n\to+\infty} {\sum_{i=1}^n {f(x_i)\cdot \cfrac{1}{n} } } \: \: (2) \]

对于 \(\Delta\) 中的第\(i\)个区间,可表示为 \([\cfrac{i-1}{n},\cfrac{i}{n}]\)
由于函数在微分区间个数上取极限时,每个区间可认为是一点,所以不妨令 \(\xi=x_i=\cfrac{i}{n}\)
(而可以证明,这里取区间内任一点都不影响积分结果)
所以 \((2)\) 改写为:

\[\int_0^1 f(x) dx = \lim_{n\to+\infty} {\sum_{i=1}^n {(\cfrac{i}{n})^2\cdot \cfrac{1}{n} } } \: \: (3) \]

上式右边整理后可得

\[\lim_{n\to+\infty}{\cfrac{1}{n^3} \cdot \cfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}} \]

整理可得:

\[\lim_{n\to+\infty}{\cfrac{1}{3} \cdot \cfrac{(n+1)(2n+1)}{2n \cdot n }} \]

即为:

\[\lim_{n\to+\infty}{\cfrac{1}{3} \cdot ( 1 + \cfrac{1}{2n}) ( 1 + \cfrac{1}{n} )} \]

取极限,得

\[\int_0^1 f(x) dx = \cfrac{1}{3} \]

即函数 \(f(x)\) 在 \([0,1]\) 上的定积分为 \(\cfrac{1}{3}\)
其几何意义为 \(f(x) = x^2\) 与 \(x=0,x=1,y=0\) 三条直线围成的曲边"梯形"面积.

可以看出,根据定积分的定义直接去推导求解定积分是十分繁琐的.按照《高中数学选修2-2》中的内容,可以得到如下定义.

定义二:

在区间 \([a,b]\) 上 \(f(x)>0\) 恒成立时,\(\int_a^bf(x)dx\) 为点集

\[P= \{(x,y)|x\in [a,b],y\in [0,f(x)]\} \]

的面积.现阶段,称 \(\int_a^bf(x)dx\) 为点集 \(P\) 的面积.

\(Announce:\)以下关于 \(Riemann\) 积分的内容来自于小平邦彦前辈的《解析入门》.
定义二不仅仅适用于 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续的情况.假设 \(f(x)\) 为 \([a,b]\) 上的有界函数,对于 \([a,b]\) 的分割 \(\Delta = \{x_0,x_1,x_2,...,x_{m-1},x_m\},a=x_1<x_1<x_2<...<x_{m-1}<x_m=b\),\(f(x)\) 在每个子区间 \([x_{k-1},x_k]\) 上的上确界分别设为 \(M_k\) 和 \(\mu_k\) 并设

\[S_{\Delta}=\sum_{i=1}^m{M_k \cdot (x_k - x_{k-1})} \]

\[s_{\Delta}=\sum_{i=1}^m{\mu_k \cdot (x_k - x_{k-1})} \]

则对于区间 \([a,b]\) 任意的两个分割 \(\Delta\) 和 \(\Delta'\),有 \(s_\Delta \le S_{\Delta'}\)
因此对于 \([a,b]\) 的所有分割 \(\Delta\) , 如果 \(S_\Delta\) 的下确界设为

\[S=\inf_\Delta S_\Delta \]

\(s_\Delta\) 的上确界设为

\[s = \sup_\Delta s_\Delta \]

那么

\[s\le S \]

这里,当等式 \(s=S\) 成立时,称函数 \(f(x)\) 在区间 \([a,b]\) 是 \(Riemann\) 可积的.关于分割 \(\Delta\) ,如果 \(x_{k-1} \le \xi_k \le x_k\) 则 $ \mu_k \le f(\xi_k) \le M_k$,

因此

\[s_\Delta \le \sum_{k=1}^m f(\xi_k) \cdot ( x_k - x_{k_1} ) \le S_\Delta \]

所以, \(s=S\),即如果函数 \(f(x)\) 在区间 \([a,b]\) 上 \(Riemann\) 可积,那么

\[\lim_{\delta[\Delta]\to0} \sum_{k=1}^m f(\xi_k) \cdot ( x_k - x_{k-1}) = s = S \]

上式左边的极限叫做 \(f(x)\) 在区间 \([a,b]\) 上的定积分,用 \(\inf_a^bf(x)dx\) 来表示,即:

\[\inf_a^b f(x) dx = \lim_{\delta[\Delta]\to0} \sum_{k=1}^m f(\xi_k) \cdot ( x_k - x_{k-1}) \]

这就是 \(Riemann\) 积分法.

在区间 \([a,b]\) 上的连续函数一定 \(Riemann\) 可积.但像在区间 \([a,b]\) 上有界或除有限个点外是连续函数,虽然不是连续函数,但在区间 \([a,b]\) 上也是 \(Riemann\) 可积的.另外,在区间 \([a,b]\) 上有界的单调函数即使有无限个不连续点也在区间 \([a,b]\) 上 \(Riemann\) 可积.但并非所有函数都是 \(Riemann\) 可积的.例如,函数 \(f(x),x\in [a,b]\) , 当 \(x\) 为有理数时,\(f(x) = 1\);当 \(x\) 为无理数时, \(f(x)=0\) 这样的函数 \(f(x)\) 不可积. 事实上,对于函数 \(f(x),M_k=1,\mu_k=0\),所以对任意的分割 \(\Delta,S_\Delta = b - a ,s_\Delta = 0\) , 因此函数 \(f(x)\) 不可积.(实数的稠密性)

向小平邦彦前辈致以崇高的敬意!

但我个人最喜欢的求解定积分的方法是——微积分基本定理,又称牛顿--莱布尼茨公式.其描述为:
设函数 \(F(x)\),令\(F'(x) = f(x)\) (即 \(F(x)\) 为 \(f(x)\) 的原函数)
则有:

\[\int_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \:\: (5) \]

上式右边常记为 \(F(x) |_a^b\),于是 \((5)\) 写作:

\[\int_a^b f(x) dx = F(x) |_a^b \]

这里本应提供一张原函数表以便使用,但限于篇幅(精力),不再整理,毕竟网上大神多了去了对吧.
强烈推荐记住某些常用函数的原函数以便直接使用.

Eg.2

用公式 \((5)\) 解决 \(Eg.1\)
解:设 \(F(x)\) 为 \(f(x)\) 的原函数,则查表可知:

\[F(x)=\cfrac{x^3}{3} \]

直接运用公式 \((5)\) 得

\[\int_0^1 f(x) dx = F(x) |_b^a \]

即

\[\int_0^1 f(x) dx = F(1) -F(0) \]

可以看出,只要掌握了原函数的解法,对于定积分的求解就变得十分简洁、方便,值得一提的是,由于 \(F(x)\) 本质上是 \(f(x)\) 的导函数,所以复杂函数的原函数可以使用导数算法则进行计算.
除此之外,高中数学你背的那些基本初等函数的导函数那张表也可以用到.

定积分基本性质

\[\int_a^b k \cdot f(x) dx = k\cdot \int_a^b f(x) dx \: ( k 为常数) (1.3) \]

利用公式 \((5)\) 十分易证.
$$\int_{a}^{b}[f(x) \pm g(x)] d x=\int_{a}^{b} f(x) d x \pm \int_{a}^{b} g(x) dx (1.4)$$
同样地,利用公式 \((5)\) 不难证明.

\[\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx ( a < c < b ) (1.5) \]

这一条可以利用几何性质去理解,(当然利用公式 \((5)\) 也十分简单)
由定义二可得 \(\int_a^b f(x) dx\) 为 \(f(x)\) 在区间 \([a,b]\) 上的点集 \(P\) 的面积记为 \(S_{a,b}\) , 同理可得 \(\int_a^c f(x)dx\)和 \(\int_c^b f(x)dx\) 分别为 \(f(x)\) 在 \([a,c],[c,b]\) 上的点集 \(P_1,P_2\) 的面积,记为 \(S_{a,c},S_{c,b}\) 显然 $ S_{a,b} = S{a,c} + S_{c,b}$ , 所以,可得 \((1.5)\) 的成立.
对于 \((1.5)\) ,我们限制了 \(a<c<b\) ,接下来我们对这个条件的必要性,加以讨论.
根据 \((1.5)\) , 若 \(a<c<b\) , 显然有 \(\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx\) 成立.
若 \(b<a\) , 则定义

\[\int_a^b f(x) dx = - \int_b^a f(x) dx \]

若 \(a=b\),则定义 \(\int_a^a f(x) dx = 0\)
在上述定义下, \((1.5)\) 的成立与 \(a,b,c\) 的大小无关.
证明:方便起见, \(\int_a^b f(x) dx\) 中的 \(f(x) dx\) 省略不写.
当 \(a=c\le b\) 或 $ a \le c \le b$ 时,\((1.5)\)显然成立.
\((1)\) 当 \(c \le a \le b\) 时,\(\int_c^b = \int_c^a + \int_a^b\)
则有 \(\int_a^b = - \int_c^a + \int_c^b = \int_a^c + \int_c^b\)
\((2)\) 当 $ c \le b \le a$ 时, \(\int_c^a = \int_c^b + \int_b^a\)
则有 $ - \int_b^a = \int_c^b - \int_c^a $
即 \(\int_a^b = \int_a^c + \int_c^b\)
同理,在其它任意情况下,\((1.5)\) 同样成立.

不定积分(这是多余的,只有定义)

定义四:
在公式 \((5)\) 中,我们用到了原函数.事实上,
定义在区间 \(I\) 上的函数 \(f(x)\) 的原函数也可称为 \(f(x)\) 的不定积分.用符号 \(\int f(x) dx\) 表示.
但在不同的资料文献中,对不定积分的定义并不统一,这里采用了小平邦彦前辈在《解析入门》中的定义.
在这里需要注意的是,定积分与不定积分是完全不同的概念,二者之间仅有一个公式 \((5)\) 的计算联系,而不能认为定积分就是不定积分在对应区间上的差值.再次不对不定积分进行进一步讨论.

本次探究学习到此就告一段落了,事实上,本文的所有内容都十分浅显,是积分学中最最基础的东西,尽管如此,也还不甚全面.限于本人还未学习过数列的极限、导函数等内容,所以目前的自学成果只有这些.