「线性代数」方阵的行列式

\(n\) 阶行列式相关概念

排列与逆序

排列：由 \(1\) 到 \(n\) 的 \(n\) 个自然数不重复地组成的有序数列。（显然有 \(n!\) 种）
逆序：排列中倒叙排列的数对。

• 以 \(\{a_n\}\) 为例：对于数对 \((a_i, a_j)\) 若满足 \(i < j, a_i > a_j\) 则称其为一个逆序
  逆序数：一个排列的逆序总数，记为 \(\tau (a_1a_2\dots a_n)\)。
  逆序数为奇数的排列为奇排列，否则为偶排列。

定理 1.1
一次对换一定改变排列的奇偶性。
证明
证明是简单的，这里简单说一下思路：
我们若交换 \(a_l, a_r\)，则在两者两侧的元素不受影响，对于中间的元素影响两次抵消，最终有 \((a_l, a_r)\) 这个数对受影响，故奇偶性改变。

阶行列式定义

对于 \(n\) 阶方阵 \(A = \left(a_{i, j}\right)\)，记 \(\left|A\right|\) 或 \(\det A\) 为其行列式。

当 \(n = 1\)，\(\left|A \right| = a_{i, j}\)

当 \(n > 1\)，定义

\[\left|A \right| = \sum_{j = 1} ^ n (-1) ^ {1 + j}a_{1, j} \cdot \left|\tilde A_{1, j} \right| \]

（其中 \(\tilde A_{i, j}\) 定义为 \(A\) 删去第 \(i\) 行第 \(j\) 列得到的 \((n - 1) \times (n - 1)\) 的子方阵，称为 \(A\) 关于第 \(i\) 行第 \(j\) 列的余子式，\(\tilde (-1)^{i + j}A_{i, j}\) 为其代数余子式。）

另一种定义方式（取排列 \(\{j_1, j_2, \dots, j_n\}\)）：

\[\left|A \right| = \sum_{j_1j_2\dots j_n} ^ n (-1) ^ {\tau (j_1j_2\dots j_n)} a_{1, j_1}a_{2, j_2}\dots a_{n, j_n} \]

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对角线法则计算三阶方阵行列式：

\[A =\begin{pmatrix}a_{1, 1}&a_{1, 2}&a_{1, 3}\\a_{2, 1}&a_{2, 2}&a_{2, 3}\\a_{3, 1}&a_{3, 2}&a_{3, 3}\end{pmatrix} \]

我们先把左下角的三角平移到右侧：

\[\begin{pmatrix}a_{1, 1}&a_{1, 2}&a_{1, 3}\\\color {red}a_{2, 1}&a_{2, 2}&a_{2, 3}\\\color {red}a_{3, 1}&\color {red}a_{3, 2}&a_{3, 3}\end{pmatrix} \rightarrow\begin{pmatrix}a_{1, 1}&a_{1, 2}&a_{1, 3}&&\\&a_{2, 2}&a_{2, 3}&\color {red}a_{2, 1}\\&&a_{3, 3}&\color {red}a_{3, 1}&\color {red}a_{3, 2}\end{pmatrix} \]

对于现在的平行四边形，取每列乘积求和：\(sum_1 = a_{1, 1}a_{2, 2}a_{3, 3} + a_{1, 2}a_{2, 3}a_{3, 1} +a_{1, 3}a_{2, 3}a_{3, 2}\)

对于右下角三角同理：

\[\begin{pmatrix}a_{1, 1}&a_{1, 2}&a_{1, 3}\\a_{2, 1}&a_{2, 2}&\color {limegreen}a_{2, 3}\\a_{3, 1}&\color {limegreen}a_{3, 2}&\color {limegreen}a_{3, 3}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}&&a_{1, 1}&a_{1, 2}&a_{1, 3}\\&\color {limegreen}a_{2, 3}&a_{2, 1}&a_{2, 2}\\\color {limegreen}a_{3, 2}&\color {limegreen}a_{3, 3}&a_{3, 1}\end{pmatrix} \]

得到 \(sum_2 = a_{1, 1}a_{2, 3}a_{3, 2} + a_{1, 2}a_{2, 1}a_{3, 3} + a_{1, 3}a_{2, 2}a_{3, 1}\)

则 \(\left|A \right| = sum_1 - sum_2\)。但对角线法则并不使用于更高阶的方阵。

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行列式性质

1. 分行可加性：可将矩阵某行（列）拆为两个向量的和，其他行不变与两个向量组合为两个矩阵，原矩阵行列式即两个新矩阵行列式求和。（公式太麻烦懒得打。）
2. \(|A| = |A^T|\)
3. 可将矩阵某行系数提出至行列式前。（若方阵 \(A\) 第 \(i\) 行（列）\(k\) 倍倍增所得方阵为 \(B\)，则 \(|A| = k|B|\)。）
4. 一次换法变换会给予行列式一个系数 \(-1\)。
5. 消法变换不改变行列式。
6. 若有一行（列）为 \(0\) 或有两行（列）有倍数关系，行列式为 \(0\)。
7. \(|AB| = |A||B|\)

定理 \(3.3\)（拉普拉斯定理）：设 \(D\) 为 \(n\) 阶行列式，在 \(D\) 中取某特定 \(k\) 行（\(1 \le k \le n - 1\)），则包含于此 \(k\) 行中的所有 \(k\) 阶子式与其代数余子式的和为 \(D\)。