「线性代数」矩阵运算与初等变换

基本概念略。

矩阵的运算

矩阵加法、数乘

加法：对于两个 \(n\times m\) 的矩阵 \(A, B\) 定义 \(A + B = C\)，\(C\) 仍为 \(n \times m\) 的矩阵，且 \(c_{i, j} = a_{i, j} + b_{i, j}\)。
数乘：\(B = xA\)，即 \(b_{i, j} = xa_{i, j}\)。

矩阵乘法

定义：对于 \(n\times m\) 的矩阵 \(A\)，\(m\times p\) 的矩阵 \(B\)，则两者相乘得到 \(n\times p\) 的矩阵 \(C\)，满足：

\[c_{i, j} = \sum_{k = 1}^m a_{i, k}b_{k, j} \]

性质：结合律、分配律
\(AB = BA\) 在以下几种情况中成立：

1. \(A, B\) 中有单位矩阵或零矩阵
2. \(A, B\) 均为同阶对角方阵
3. \(B = A^{-1}\)

矩阵转置

定义：对于 \(n\times m\) 的矩阵 \(A\)，其转置矩阵 \(A^T\) 为 \(m\times n\)，且 \(a^T_{i, j} = a_{j, i}\)。
可以理解为按对角线翻转。

满足以下性质：

1. \((A^T)^T = A\)
2. \((A + B)^T = A^T + B^T\)
3. \((xA)^T = xA^T\)
4. \((AB)^T = B^TA^T\)

矩阵种类：

• （分块）对角矩阵
• 上下三角矩阵
• 对称、反称矩阵

矩阵的初等行（列）变换

1. 倍法变换： 用一个非零的数乘矩阵的某行。
2. 消法变换：用一个数乘矩阵的某行后再加到另一行上去。
3. 换法变换：交换矩阵两行。

列变换同理。

等价：若矩阵 \(A\) 经过有限次初等变换变为矩阵 \(B\)，则称 \(A, B\) 等价，记作：\(A \eqsim B\)
等价的性质（类似等式）：反身性（\(A \eqsim A\)）、对称性、传递性。

行（列）阶梯矩阵

满足：

1. 所有全零行都集中在矩阵最下端。
2. 每行开始第一个非零元素的下方所有元素全为 \(0\)。

初等矩阵

定义：对单位矩阵施以一次初等变换得到的矩阵成为初等矩阵。

定理

• 初等矩阵左乘 \(A\)，相当于对 \(A\) 进行相应的初等行变换； 初等矩阵右乘 \(A\)，相当于对 \(A\) 进行相应的初等列变换。