「微积分 A1」极限与连续函数

数列极限

对于数列 \(\{a_n\} \subseteq R\) 称 \(L\) 为 \(\{a_n\}\) 的极限，当且仅当：

\[\forall \varepsilon > 0, \quad \exists N \in \mathbb{N}, \quad s.t. \quad n > N \Rightarrow |a_n - L| < \varepsilon \]

记作：\(\lim\limits_{n \to \infty} a_n = L\)

收敛数列性质

基本性质

1. 收敛数列极限唯一
2. 收敛数列必有界

收敛数列运算性质

设 \(\lim\limits_{n \leftarrow \infty} x_n = a, \lim\limits_{n \leftarrow \infty} y_n = b\)

1. \(\lim\limits _{n \rightarrow \infty} x_{n + m} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} x_n\)
2. \(\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \left|x_n\right| = \left|a\right|\)
3. \(\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\left(\alpha x_n + \beta y_n \right) = \alpha a + \beta b\)
4. 若 \(\left| y_n \right| \le M\)，且 \(\lim\limits_{n \rightarrow \infty} x_n = 0\)，则 \(\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \left( x_ny_n \right) = 0\)
5. \(\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\left(x_n y_n \right) = a b\)
6. \(\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{x_n}{y_n} \right) = \frac{a}{b}\)

保号性显然，故略。

夹挤定理

对于数列 \(\{x_n\}, \{a_n\}, \{b_n\}, \forall i, a_i \le x_i \le b_n\) 且 \(\lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_n = p, \lim\limits_{n \rightarrow \infty} b_n = p\)，则有 \(\lim\limits_{n \rightarrow \infty} = x_n = p\)。

柯西准则

柯西准则（也称为柯西收敛准则）是判断数列是否收敛的重要条件。其表述如下：

数列 \(\{a_n\}\) 收敛的充要条件是：对于任意给定的正数 \(\varepsilon > 0\)，存在正整数 \(N\)，使得当 \(m, n > N\) 时，有 \(\left|a_m - a_n\right| < \varepsilon\)。

数列极限求解/数列收敛证明

1. 定义
2. 单调有界定理
3. 夹挤定理
4. 求解递推式（\(x_n\) 与 \(x_{n - 1}\) 关系得出后，有 \(\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_n = x_{n - 1}\)，便可解出极限）

放缩技巧

1. 二项式
2. 多项求和全部放缩为最大或最小

函数极限

对于函数 \(f(x)\) 称 \(A\) 为其趋于 \(x_0\) 的极限，需 \(x_0\) 是 \(f\) 定义域 \(I\) 的聚点（不要求 \(x_0 \in I\)），且

\[\forall \varepsilon > 0,\ \exists\delta > 0 : \forall x\in I,\ 0 < |x - x_0| < \delta \implies |f(x) - A| < \varepsilon \]

记作：\(\lim\limits_{x\to x_0} f(x) = A\)

函数极限定义不要求 \(x_0\) 在定义域内，只需 \(f\) 在 \(x_0\) 任意小的邻域内有定义。

函数极限性质

四则运算、唯一性、保号性同样成立。
单调有界定理、夹挤定理、柯西准则类似地成立。

柯西准则：对于函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 的某去心邻域内有定义，则 \(\lim\limits_{x\rightarrow x_0} f(x_0)\) 存在的充要条件：\(\forall a > 0, \exists b > 0\) 对于任意 \(x_1, x_2, 0 < \left|x_1 - x_0\right| < b, 0 < \left|x_2 - x_0\right| < b\) 有 \(\left|f(x_1) - f(x_2)\right| < a\)。

1. 若 \(\lim\limits_{x \rightarrow x_0} f(x)\) 存在，则 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 点的某去心邻域内有界。
2. （Heine 定理）\(\lim\limits_{x \rightarrow x_0} f(x) = A\) 的充要条件：对于在 \(x_0\) 点任意去心邻域内，任意收敛于 \(x_0\) 的数列 \(\{x_n\}\)，都有 \(\lim\limits_{x\rightarrow \infty} f(x_n) = A\)。
3. 复合函数极限：设 \(\lim\limits_{x\rightarrow x_0} f(x) = A_1\) 且在 \(x_0\) 的某一去心邻域内 \(f(x) \not = A_1\)，又设 \(\lim\limits_{x\rightarrow A_1} g(A_1) = A_2\)，则有 \(\lim\limits_{x\rightarrow x_0} g\left[f(x)\right] = A_2\)。（注意其中关于 \(f(x)\) 值域的要求，因为 \(g(A_1)\) 可能没有定义或在此点不连续。）
4. \(\lim\limits_{x \rightarrow x_0} f(x) = A\) 的充要条件：\(\lim\limits_{x \rightarrow x_0^-} f(x) = A\) 且 \(\lim\limits_{x \rightarrow x_0^+} f(x) = A\)

重要极限

• \(\lim\limits_{x\rightarrow \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e\)（\(\lim\limits_{x\rightarrow \infty} \left(1 + \frac{a}{x}\right)^x = e^a\)）
• \(\lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1\)

无穷小与无穷大

无穷小

定义：若 \(\lim\limits_{x \rightarrow x_0} f(x) = 0\)，则称 \(f(x)\) 是 \(x \rightarrow x_0\) 时的无穷小量。
无穷小量的和、差、积是无穷小量。

无穷小的比较

1. \(\lim\limits_{x \rightarrow x_0} \frac a b = 0\) 则 \(a\) 是比 \(b\) 更高阶的无穷小。
2. \(\lim\limits_{x \rightarrow x_0} \frac a b = C\)（\(C\) 为非零常数），则 \(a\) 与 \(b\) 为同阶无穷小。（若 \(C = 1\) 则称 \(a\) 与 \(b\) 是等价无穷小。）
3. \(\lim\limits_{x \rightarrow x_0} \frac a {b^k} = C\) （\(C\) 为非零常数，\(k\) 为正，且为常数），则 \(a\) 是 \(b\) 的 \(k\) 阶无穷小。

大 \(O\) 与小 \(o\)（直观理解）：\(O(f)\) 为 \(f\) 的常数倍量级，\(o(f)\) 为 \(f\) 的任意小倍量级。

重要的等价无穷小

\(x\rightarrow 0\) 时：

1. \(\arcsin x \sim x\)
2. \(\sin x \sim x\)
3. \(\tan x \sim x\)
4. \(\arctan x \sim x\)
5. \(\ln(x + x) \sim x\)
6. \(e^x - 1 \sim x\)
7. \(1 - \cos x \sim \frac 1 2 x^2\)

无穷大

定义：若 \(\lim\limits_{x \rightarrow x_0} \left|f(x)\right| = \infty\)，则称 \(f(x)\) 是 \(x \rightarrow x_0\) 时的无穷大。

连续函数

连续

连续定义：称函数 \(f:I\rightarrow \mathbb R\) 在 \(x_0 \in I\) 处连续，若：

\[\forall a > 0,\ \exists b > 0 : \forall x\in I,\ \left|x - x_0\right| < b\implies \left|f(x) - f(x_0)\right| < a \]

即满足：\(\lim\limits_{x \rightarrow x_0} f(x) = f(x_0)\)（极限本身需要存在，且 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处有定义。）

称函数连续，若函数在定义域内处处连续。

间断

称 \(f:I\rightarrow \mathbb R\) 在 \(x_0\) 处间断，若一下条件之一成立：

1. \(x \not \in I\)
2. \(\lim\limits_{x \rightarrow x_0} f(x)\) 不存在
3. \(\lim\limits_{x \rightarrow x_0} f(x) \not = f(x_0)\)

可去间断点：\(x_0\) 两侧极限相等，但此点无定义或此处函数值不等于极限值。
跳跃间断点：\(x_0\) 两侧极限存在但不相等。

以上两者均是第一类间断点，其余间断点称为第二类间断点。