P1072 [NOIP 2009 提高组] Hankson 的趣味题

P1072 [NOIP 2009 提高组] Hankson 的趣味题

题目描述

Hanks 博士是 BT（Bio-Tech，生物技术）领域的知名专家，他的儿子名叫 Hankson。现在，刚刚放学回家的 Hankson 正在思考一个有趣的问题。

今天在课堂上，老师讲解了如何求两个正整数 \(c_1\) 和 \(c_2\) 的最大公约数和最小公倍数。现在 Hankson 认为自己已经熟练地掌握了这些知识，他开始思考一个“求公约数”和“求公倍数”之类问题的“逆问题”，这个问题是这样的：已知正整数 \(a_0,a_1,b_0,b_1\)，设某未知正整数 \(x\) 满足：

1. \(x\) 和 \(a_0\) 的最大公约数是 \(a_1\)；

2. \(x\) 和 \(b_0\) 的最小公倍数是 \(b_1\)。

Hankson 的“逆问题”就是求出满足条件的正整数 \(x\)。但稍加思索之后，他发现这样的 \(x\) 并不唯一，甚至可能不存在。因此他转而开始考虑如何求解满足条件的 \(x\) 的个数。请你帮助他编程求解这个问题。

输入格式

第一行为一个正整数 \(n\)，表示有 \(n\) 组输入数据。接下来的$ n$ 行每行一组输入数据，为四个正整数 \(a_0,a_1,b_0,b_1\)，每两个整数之间用一个空格隔开。输入数据保证 \(a_0\) 能被 \(a_1\) 整除，\(b_1\) 能被 \(b_0\) 整除。

输出格式

共 \(n\) 行。每组输入数据的输出结果占一行，为一个整数。

对于每组数据：若不存在这样的 \(x\)，请输出 \(0\)，若存在这样的 \(x\)，请输出满足条件的 \(x\) 的个数；

输入输出样例 #1

输入 #1

2 
41 1 96 288 
95 1 37 1776

输出 #1

6 
2

说明/提示

【样例解释】

第一组输入数据，\(x\) 可以是 \(9,18,36,72,144,288\)，共有 \(6\) 个。

第二组输入数据，\(x\) 可以是 \(48,1776\)，共有 \(2\) 个。

【数据范围】

• 对于 \(50\%\) 的数据，保证有 \(1\leq a_0,a_1,b_0,b_1 \leq 10000\) 且 \(n \leq 100\)。
• 对于 \(100\%\) 的数据，保证有 \(1 \leq a_0,a_1,b_0,b_1 \leq 2 \times 10^9\) 且 \(n≤2000\)。

NOIP 2009 提高组 第二题

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这题思路跟《P1029 [NOIP 2001 普及组] 最大公约数和最小公倍数问题》很相似（如果没做过这道题或者没有印象建议先去做一下）， \(i\) 枚举 \(b_1\) 的因数，对每个 \(b_1\) 的因数判断 \((i,a_0)=a_1 \land [i,b_0]=b_1\) ，符合条件答案就 \(+1\) ，还要判断 \(i \times i \neq b_1 \land (b_1/i,a_0)=a_1 \land [b_1/i,b_0]=b_1\) ，符合条件答案就 \(+1\) ，为什么第二个要特判 \(i \times i \neq b_1\) 呢？因为如果不特判的话，答案就会多 \(1\) 。代码如下：

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点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
int n,a0,a1,b0,b1,s;
int gcd(int x,int y){
	return y?gcd(y,x%y):x;
}
int lcm(int x,int y){
	return x/gcd(x,y)*y;//最好不要写成x*y/gcd(x,y)，防止溢出
}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);
	cin>>n;
	while(n--){
		cin>>a0>>a1>>b0>>b1;
		s=0;
		for(int i=1;i*i<=b1;i++){
			if(b1%i==0){
				if(gcd(i,a0)==a1&&lcm(i,b0)==b1){
					s++;
				}
				if(i*i!=b1&&gcd(b1/i,a0)==a1&&lcm(b1/i,b0)==b1){
					s++;
				}
			}
		}
		cout<<s<<'\n';
	}
	return 0;
}

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这题的思维难度比较简单，我个人认为顶多算个黄题，但是洛谷却评了绿题……（大雾