P1029 [NOIP 2001 普及组] 最大公约数和最小公倍数问题

P1029 [NOIP 2001 普及组] 最大公约数和最小公倍数问题

题目描述

输入两个正整数 \(x_0, y_0\)，求出满足下列条件的 \(P, Q\) 的个数：

1. \(P,Q\) 是正整数。

2. 要求 \(P, Q\) 以 \(x_0\) 为最大公约数，以 \(y_0\) 为最小公倍数。

试求：满足条件的所有可能的 \(P, Q\) 的个数。

输入格式

一行两个正整数 \(x_0, y_0\)。

输出格式

一行一个数，表示求出满足条件的 \(P, Q\) 的个数。

输入输出样例 #1

输入 #1

3 60

输出 #1

4

说明/提示

\(P,Q\) 有 \(4\) 种：

1. \(3, 60\)。
2. \(15, 12\)。
3. \(12, 15\)。
4. \(60, 3\)。

对于 \(100\%\) 的数据，\(2 \le x_0, y_0 \le {10}^5\)。

【题目来源】

NOIP 2001 普及组第二题

本题题面非常简洁，首先我们来回顾一下本题需要用到的关于最大公约数的性质：
\(ab=(a,b)[a,b]\)
这条性质非常神奇。有了这条性质，我们先枚举 \(x_0y_0\) 的因数 \(i\) ，然后判断条件累加结果即可。但是有一种特殊情况：如果 \(x_0=y_0\) ，那么答案就要 \(-1\) ，因为每次循环如果 \(i\) 是\(x_0y_0\) 的因数，就会判断 \((i,\frac{x_0y_0}{i})\) 是否为 \(x_0\) ，如果符合条件答案就会 \(+2\) ，因为可以把 \(x,y\) 颠倒，也算一种答案。当 \(i\) 枚举到 \(\sqrt{x_0y_0}\) （或者说是 \(x_0\) 或 \(y_0\) ）时， \(i=\frac{x_0y_0}{i}=x_0=y_0\) ，答案就会多 \(1\) ，所以要特判一下。代码如下:

---

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
ll a,b,t,s;//十年OI一场空，______________________
ll gcd(ll x,ll y){
	return y?gcd(y,x%y):x;//手写gcd，虽然速度跟库函数__gcd差不多，但是可以少打两个下划线
}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);
	cin>>a>>b;
	t=a*b;
	if(a==b)s--;//特判
	for(ll i=a;i*i<=t;i++){//i从a开始枚举
		if(t%i==0&&gcd(i,t/i)==a)s+=2;
	}
	cout<<s;
	return 0;
}

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做完这道题可以去尝试一下P1072 [NOIP 2009 提高组] Hankson 的趣味题，跟这题思路很相似。