洛谷P9025题解

P9025题解

简化题意

求一个值 \(c\) 使得

\[\sum_{i=1}^n w_i(\left |c-p_i\right | -d_i) \]

最小化

（注意题目中 \(w_i\) 表示每移动一米需要 \(w_i\) 秒）

思路

首先我们令选择 \(c\) 位置的总用时为 \(f(c)\)

显然，我们可以把它分成两边来看

在 \(c\) 左边的人：

\[f(c)=\sum_{p_i+d_i<c}w_i(c-p_i-d_i) \]

在 \(c\) 右边的人：

\[f(c)=\sum_{p_i-d_i>c}w_i(p_i-d_i-c) \]

也就是

\[f(c)=\sum_{p_i+d_i<c}w_i(c-p_i-d_i)+\sum_{p_i-d_i>c}w_i(p_i-d_i-c) \]

对于每一个确定的 \(c\) ，在它左边和右边的人一定固定不变，我们可以把它看做一个一次函数

如果我们令选择的位置 \(c\) 向后移动一位变为 \(c+1\)

那么在 \(c\) 左边的人数会增加，这一部分 \(c\) 的系数 \(\sum w_i\) 会增大；

而在 \(c\) 右边的人数会减少，这一部分 \(c\) 的系数 \(-\sum w_i\) 就会减小

也就是说 \(c\) 的系数之和会不断增加，而一开始假设 \(c\) 非常小时，它的系数也非常小，为负数，而到最后系数会随着不断增加成为正数，说明 \(f(c)\) 是一个单峰函数

那么我们考虑三分即可得到 \(f(c)\) 的最小值

复杂度 \(O(nlogn)\)

代码

代码是模拟赛上冲的，带了巨大常数，较丑还请见谅

#include<bits/stdc++.h>
#define MAXN 200002
#define MAXM 
#define ll long long
using namespace std;
namespace FastIO
{
	char buf[1<<23],*p1,*p2;
	#define reg register
	#define gc() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<22,stdin),p1==p2))?EOF:*p1++
	inline int read()
    {
        reg int f=1,w=0;reg char ch=gc();
        while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=gc();}
        while(ch>='0'&&ch<='9')w=w*10+ch-'0',ch=gc();
        return f*w;
    }
}
using FastIO::read;
int n,maxp,ans;
ll ndis;
struct giegie
{
    int p,w,d;
}g[MAXN];
inline ll calc(int pos)
{
    ll res=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        double dis=max(abs(pos-g[i].p)-g[i].d,0);
        res+=dis*g[i].w;
    }
    return res;
}
int main()
{
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)
        g[i].p=read(),g[i].w=read(),g[i].d=read(),maxp=max(maxp,g[i].p+g[i].d);
    int l=0,mid1,mid2,r=maxp;
    ndis=calc(0);
    while(l<r)
    {
        mid1=l+(r-l+1)/3;
        mid2=l+(r-l+1)/3*2;
        ll dis1=calc(mid1),dis2=calc(mid2);
        ll disl=calc(l),disr=calc(r);
        ndis=min(ndis,min(dis1,dis2));
        ndis=min(ndis,min(disl,disr));
        if(dis1>dis2)l=mid1+1;
        else r=mid2-1;
    }
    printf("%lld\n",ndis);
    return 0;
}