字符串哈希

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Hash的思想

核心思想

Hash 的核心思想在于，将输入映射到一个值域较小、可以方便比较的范围。

定义

我们定义一个把字符串映射到整数的函数 f ，这个 f 称为 Hash 函数。

通常我们采用的是多项式 Hash 的方法，对于一个长度为l的字符串s来说，我们可以这样定义多项式 Hash 函数：f(s) =∑li=1s[i]×b^i-1(mod M)，例如，对于字符串xyz，其哈希函数值为xb²+yb+z。

多次询问子串哈希

单次计算一个字符串的哈希值的复杂度是O (n)。

如果要多次询问字符串的子串的哈希值，我们可以预处理出每个前缀的哈希值。

令f _i(s)表示字符串的长度为i的前缀的哈希值，不难得到f _i (s) = f _i-1(s) ∗ b + s[i]。

现在，我们想要快速求出f (s[l...r])，按照定义有字符串s[l...r]的哈希值为

f (s[l...r]) = s[l] ∗ b^r-l + s[l +1] ∗ b^r-l-1 + ... + s[r - 1] ∗ b + s[r] =  f _r(s) - f _l-1 (s) ∗ b^r-l+1

于是，我们就能O (1)地回答每次询问

Hash的运用

字符串匹配

求出模式串的哈希值后，求出文本串每个长度为模式串长度的子串的哈希值，分别与模式串的哈希值比较即可。

 

允许k次失败的字符串匹配

问题：给定长为 s 的源串 ，以及长度为 m 的模式串p ，要求查找源串中有多少子串与模式串匹配。s'与s匹配，当且仅当s'与s长度相同，且最多有k个位置字符不同。

 

我们可以枚举所有可能长度的子串，然后通过哈希+二分快速找到第一个失配的位置，然后将之前的部分删掉，继续查找下一个位置。这个过程最多发生k次。

时间复杂度为O(m + knlog₂m)

最长回文子串

二分答案。对于一个长度k，枚举所有长度为k的子串，然后判断该子串两侧的哈希值是否相等即可·。

时间复杂度O(nlogn)

 

也可以O(n)地解决该问题，记R_i表示以i为结尾的最长回文的长度，由于R_i ≤R_i-1 + 2，因此只需每次将长度从R_i-1 + 2开始递减，直到找到第一个回文为止。设当前枚举的最大长度为z，每次i增加时，z增加2，每次暴力循环z减小1，故暴力循环最多发生2n次，时间复杂度为O(n)。

最长公共子字符串

问题：给定m个总长不超过n的非空字符串，查找所有字符串的最长公共子字符串，如果有多个，任意输出其中一个。

考虑二分答案。假设现在枚举的最大长度为k，check(k)的逻辑为求所有字符串的长度为k的子字符串的哈希值，然后求交集即可。

确定字符串中不同子字符串的数量

问题：给定长为n的字符串，仅由小写英文字母组成，查找该字符串中不同子串的数量。

遍历所有长度为l=1,2,...,n的子字符串，分别哈希即可。