全排列问题

1.输出n的全排列

这个比较简单，用递归就行了

 1 void permutation(int now){
 2 
 3   if(now > n){//如果已经排完
 4     for (int i = 1; i <= n; i++)
 5       printf("%d", a[i]);
 6     printf("\n");
 7     return;
 8   }
 9 
10   for(int i = 1; i <= n; i++){
11     if(!used[i]){//如果i这个数没被用过
12       a[now] = i;
13       used[i] = 1;
14       permutation(now + 1);//排下一个
15       used[i] = 0;//回溯
16     }
17   }
18   return;
19 }

2.next_permutation

如何输出下一个全排列呢？

我们可以先观察几个排列

12345

12354

12435

12453

54321

可以发现，这列数在逐渐从正序变成倒序

显然，正序数<乱序数

那么，我们可以从右往左遍历，找到第一个非递减的数字，然后将它与它后面比大的最小数交换，再将后面的数正序排列

例如，对于24351，我们先找到4，将4和5交换，在将后面的数正序排列，得到

25134

 1 void next_permutation(){
 2     int i = n, j;
 3     while(a[i-1] > a[i] && i >= 1)i--;//找到第一个非逆序的数
 4     if (i < 1)return;
 5     i--;
 6     for(j = n; a[j] < a[i]; j--);//找到最小的比a[i]大的数
 7     swap(a[j], a[i]);
 8     i++;
 9     j = n;
10     while (i < j)swap(a[i++], a[j--]);//将后面逆序
11     return;
12 }

当然，algorithm库里也有现成的next_permutation函数

用法：

next_permutation(a+0, a + n)
next_permutation(a.begin(h), a.end())

3.康托展开

康托展开用来求一个排列的字典序排名

设有排列 $p=a_1a_2\dots a_n$ ，那么对任意字典序比 $p$ 小的排列，一定存在 $i$ ，使得其前 $i-1$ $(1\le i\lt n)$ 位与 $p$ 对应位相同，第 $i$ 位比 $p_i$ 小，后续位随意。于是对于任意 $i$ ，满足条件的排列数就是从后 $n-i+1$ 位中选一个比 $a_i$ 小的数、并将剩下 $n-i$ 个数任意排列的方案数，即为 $A_i\cdot(n-i)!$ （ $A_i$ 表示 $a_i$ 后面比 $a_i$ 小的数的个数）。遍历 $i$ 即得总方案数: