【UR #5】怎样跑得更快
题面
链接：UOJ#62
题目描述
大力水手问禅师：“大师，我觉得我光有力气是不够的。比如我吃菠菜可以让力气更大，但是却没有提升跑步的速度。请问怎样才能跑得更快？我试过吃白菜，没有效果。”
禅师浅笑，答：“方法很简单，不过若想我教你，你先看看这道UOJ Round的C题。”
令 \(p=998244353\)（\(7×17×223+1\)，一个质数）。
给你整数\(n,c,d\)。现在有整数 \(x_1, \dots, x_n\)和\(b_1, \dots, b_n\)满足\(0 \leq x_1, \dots, x_n, b_1, \dots, b_n < p\)，且对于\(1 \leq i \leq n\)满足：
其中\(v \equiv u \pmod{p}\)表示\(v\)和\(u\)除以\(p\)的余数相等。\(gcd(i,j)\)表示\(i\)和\(j\)的最大公约数，\(lcm(i,j)\)表示\(i\)和\(j\)的最小公倍数。
有\(q\)个询问，每次给出\(b_1, \dots, b_n\)，请你解出\(x_1, \dots, x_n\)的值。
输入格式
第一行四个整数 。保证 \(n,q≥1\)。
接下来 \(q\) 行，每行 \(n\) 个整数依次表示 \(b1,…,b_n\)。保证 \(0≤b_1,…,b_n<p\)。
输出格式
共 \(q\) 行，每行对给出的 \(b_1,…,b_n\)，输出对应的 \(x_1,…,x_n\)。如果有多组解输出任意一组即可。如果无解那么这一行只用输出一个整数 \(−1\)。
样例一
input
3 1 0 2
1 0 0
1 2 3
output
499122179 998244352 499122176
998244352 1 1
explanation
对于第一个询问，要满足的等式为：
样例二
见样例数据下载。
限制与约定
对于所有数据，\(n\cdot q \leq 3 \times 10^5\)，\(0 \leq c, d \leq 10^9\)。
| 测试点编号 | n | q | 其他 |
|---|---|---|---|
| 1 | \(≤3\) | \(=1\) | \(c,d\leq1000\) |
| 2 | \(≤100\) | \(=1\) | \(c=d\) |
| 3 | \(≤100\) | \(≤10\) | 保证有唯一解 |
| 4 | \(≤100\) | \(≤10\) | 保证有唯一解 |
| 5 | \(≤100\) | \(≤1000\) | \(c=1,d=0\) |
| 6 | \(≤100\) | \(≤1000\) | 保证有唯一解 |
| 7 | \(≤100\) | \(≤1000\) | 保证有唯一解 |
| 8 | \(≤100\) | \(≤1000\) | 保证有唯一解 |
| 9 | \(≤1000\) | \(=1\) | 保证有唯一解 |
| 10 | \(≤1000\) | \(=1\) | 保证有唯一解 |
| 11 | \(≤1000\) | \(=1\) | 保证有唯一解 |
| 12 | \(≤1000\) | \(≤10\) | \(c=d\) |
| 13 | \(≤1000\) | \(≤10\) | 保证有唯一解 |
| 14 | \(≤1000\) | \(≤10\) | 保证有唯一解 |
| 15 | \(≤10^5\) | \(\leq3\) | \(c=1,d=0\) |
| 16 | \(≤10^5\) | \(\leq3\) | \(c=1,d=0\) |
| 17 | \(≤10^5\) | \(\leq3\) | \(c=d\) |
| 18 | \(≤10^5\) | \(\leq3\) | 无 |
| 19 | \(≤10^5\) | \(\leq3\) | 无 |
| 20 | \(≤10^5\) | \(\leq3\) | 无 |
时间限制：1s
空间限制：256MB
后记
还没听完题，大力水手就嘶吼着：“太难了我不会我不会！”，飞快地跑掉了。
禅师看着大力水手消失的背影，叹了口气说：“你们这些人啊，每天就想做些大水题，一碰到难题，跑得不知道比谁都快。”
后来大力水手把UOJ Round的C题题面贴在了汽车的后挡风玻璃上，人类从此掌握了光速旅行的正确方式。
下载
题目分析
(以下式子均省略\((mod p)\))
设\(f(gcd(i,j))=gcd(i,j)^{c-d},h(i)=i^d,g(j)=j^d\)
设\(T=kd\)
你发现\(\sum\limits_{d|T}\mu(\frac Td)f(d)\)是一个可以\(O(n\log n)\)预处理出的函数，设为\(fr(T)\)
设\(q(T)=\sum\limits_{T|j}^ng(j)\cdot x_j,F(T)=q(T)\cdot fr(T),w(i)=\frac {b_i}{h(i)}\)
则有
这是一个莫比乌斯反演的模型，可以化为
现在，\(F(i)\)已经可以\(O(n \log n)\)预处理出，所以再反代回去
此时，由于\(F(i),fr(i)\)均可预处理，\(q(i)\)也相当于可以预处理出。
设\(t(j)=g(j)\cdot x_j\)，则有
这又是一个莫比乌斯反演的模型，可以化为
这样一来，\(t(i)\)也可以\(O(n \log n)\)预处理出。
由
得
只要每个询问都\(O(n \log n)\)完成预处理，便可以\(O(1)\)求得答案。
对于无解的情况，只用判断是否有非零数除以零即可。
代码实现
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<iomanip>
#include<cstdlib>
#define MAXN 0x7fffffff
typedef long long LL;
const int N=100005,mod=998244353;
using namespace std;
inline int Getint(){register int x=0,f=1;register char ch=getchar();while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}
int mu[N],prime[N];
bool vis[N];
LL ksm(LL x,LL k){
LL ret=1;
while(k){
if(k&1)ret=ret*x%mod;
x=x*x%mod,k>>=1;
}
return ret;
}
int n,c,d,Q;
int f[N],g[N],h[N],b[N];
int fr[N],w[N],F[N];
int q[N],t[N],x[N];
void Pre(){
for(int i=1;i<=n;i++){
f[i]=ksm(i,(c-d+(mod-1))%(mod-1));
h[i]=g[i]=ksm(i,d);
}
mu[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++){
if(!vis[i])prime[++prime[0]]=i,mu[i]=-1;
for(int j=1;j<=prime[0]&&1ll*i*prime[j]<=n;j++){
vis[i*prime[j]]=1;
if(i%prime[j]==0)break;
mu[i*prime[j]]=-mu[i];
}
}
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=i;j<=n;j+=i){
fr[j]=(fr[j]+mu[j/i]*f[i])%mod;
}
fr[i]=(fr[i]+mod)%mod;
}
}
void Solve(){
for(int i=1;i<=n;i++)b[i]=Getint();
for(int i=1;i<=n;i++)w[i]=b[i]*ksm(h[i],mod-2)%mod;
memset(F,0,sizeof(F));
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=i;j<=n;j+=i){
F[j]=(F[j]+mu[j/i]*w[i])%mod;
}
F[i]=(F[i]+mod)%mod;
}
for(int i=1;i<=n;i++){
if(F[i]!=0&&fr[i]==0){puts("-1");return;}
q[i]=F[i]*ksm(fr[i],mod-2)%mod;
}
for(int i=1;i<=n;i++){
t[i]=0;
for(int j=i;j<=n;j+=i){
t[i]=(t[i]+mu[j/i]*q[j])%mod;
}
t[i]=(t[i]+mod)%mod;
}
for(int i=1;i<=n;i++){
if(t[i]!=0&&g[i]==0){puts("-1");return;}
x[i]=t[i]*ksm(g[i],mod-2)%mod;
}
for(int i=1;i<=n;i++)cout<<x[i]<<' ';cout<<'\n';
}
int main(){
n=Getint(),c=Getint()%(mod-1),d=Getint()%(mod-1),Q=Getint();
Pre();
while(Q--)Solve();
return 0;
}
