Z函数总结

记录了一个后缀和原串的LCP长度的信息。有点和后缀扯上关系了。

也有人叫它扩展KMP，但其实和KMP没有太大关系。

对于字符串\(s\)，定义\(z_i\)表示\(suf_{s,i}\)与\(s\)的最长公共前缀（LCP）的长度。我们可以\(O(n)\)求出\(z_i\)。

类似KMP，我们同样递推，利用已经求出的信息降低复杂度。

根据定义，对于任意的\(i\)都有\(s_{1\dots z_i}=s_{i\dots i+z_i-1}\)。这类似于border，可以用来加速。

考虑维护最靠右的匹配段\(s_{i\dots i+z_i-1}\)，记作\([l,r]\)。特别地，\(z_1=|s|\)没有意义，不算入匹配段中。于是从\(2\)开始，初始化\(l=r=0\)。

计算\(z_i\)时，讨论一下：

• 若\(i\le r\)，\(s_{1\dots r-l+1}=s_{l\dots r}\Rightarrow s_{i-l+1,r-l+1}=s_{i,r}\)，那么就有\(z_i\ge \min(r-i+1,z_{i-l+1})\)，初始化后再暴力拓展。

• 若\(i>r\)，直接暴力拓展。

计算结束后更新\([l,r]\)即可。

看起来很暴力，但分析一下可以知道是\(O(n)\)的：

• \(i>r\)时，暴力拓展一定使\(r\)变大。

• \(i\le r\land z_{i-l+1}> r-i+1\)时，暴力拓展也会让\(r\)变大。

• \(i\le r\land z_{i-l+1}\le r-i+1\)时，不会暴力拓展。

由于\(r\)最多从\(0\)变大到\(|s|\)，所以复杂度是\(O(n)\)的。

• 对于这道题luogu Z函数模板的第二问，用推导\(z\)函数的思路推一下即可。

• 循环移位后与原串比大小：首先想到\(s\)与\(t\)比大小只需比\(LCP(s,t)\)后的第一个字符即可。循环移位可以将字符串复制一份接在后面，然后上\(z\)函数推即可。